Calcule as integrais indefinidas indicadas abaixo:
integral x ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! A gente precisa calcular . Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar partes da expressão que vão ser e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é super útil quando temos um produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos escolher:
  • (porque a derivada de é mais simples)
  • (então podemos integrar facilmente)

Passo 4

Agora, vamos diferenciar du = 1x , dx e integrar v = integral x , dx = x^22 :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x ln x , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= ln x cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx

Passo 6

Vamos simplificar a integral que ficou:
integral x^22 cdot 1x , dx = integral x2 , dx = 12 integral x , dx = 12 cdot x^22 = x^24

Passo 7

Voltando à expressão principal:
integral x ln x , dx = x^22 ln x - x^24 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral x ln x , dx = x^22 ln x - x^24 + C

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