Calcule as integrais indefinidas indicadas abaixo:
integral(3 x^2-2) cos (x^3-2 x) d x
Dica: Use a mudança de variável u=x^3-2 x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida . Para isso, vamos usar a técnica de mudança de variável (também conhecida como substituição), que nos ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, identificamos uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável. A dica sugere usarmos . Isso vai facilitar nossa resolução.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 3x^2 - 2 em relação a para encontrar . Então,
Isso nos dá .

Passo 4

Observamos que a expressão já está presente na nossa integral original. Isso é ótimo porque podemos substituir por .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
integral(3 x^2-2) cos (x^3-2 x) dx = integral cos(u) , du
Agora, a integral está mais simples e em termos de .

Passo 6

A integral de em relação a é , onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, voltamos à variável original substituindo sin(u) + C = sin(x^3 - 2x) + C :

Resposta

A integral indefinida é .

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