Calcule as integrais indefinidas
\int \frac{x^{5}+2 x^{2}-1}{x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{5} + 2x^{2} - 1}{x^{4}}\,dx.
O conteúdo necessário é manipular a expressão algébrica dividindo potências de x e depois usar a regra do poder para integrais, isto é,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1.

Passo 2

Vamos reescrever o integrando dividindo cada termo por x^{4}:
\frac{x^{5} + 2x^{2} - 1}{x^{4}} = x^{5-4} + 2x^{2-4} - x^{-4} = x + 2x^{-2} - x^{-4}.
Logo a integral vira
\int \bigl(x + 2x^{-2} - x^{-4}\bigr)\,dx.

Passo 3

Integramos termo a termo usando a regra do poder:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\quad \int 2x^{-2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{-1}}{-1} = -2x^{-1},\quad \int (-x^{-4})\,dx = -\frac{x^{-3}}{-3} = \frac{x^{-3}}{3}.
Somando os resultados, obtemos
\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{x} + \frac{1}{3x^{3}} + C.

Resposta

\int \frac{x^{5} + 2x^{2} - 1}{x^{4}}\,dx = \frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{x} + \frac{1}{3x^{3}} + C.

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