Calcule as integrais indefinidas
\int\left(2 x^{2}-3\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(2x^{2}-3\bigr)^{2}\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar a regra da integral de soma e a regra de potência, mas antes disso vamos simplificar a expressão expandindo o quadrado.

Passo 2

Expandimos \bigl(2x^{2}-3\bigr)^{2} lembrando que
(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}.
Tomando a=2x^{2} e b=3, temos
(2x^{2})^{2} - 2\cdot(2x^{2})\cdot3 + 3^{2} = 4x^{4} - 12x^{2} + 9.
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\int\bigl(2x^{2}-3\bigr)^{2}\,dx = \int\bigl(4x^{4} -12x^{2} +9\bigr)\,dx.

Passo 3

Agora aplicamos a integral termo a termo usando a regra de potência
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
  • Para \int 4x^{4}\,dx:
4\int x^{4}\,dx = 4\cdot\frac{x^{5}}{5} = \frac{4}{5}x^{5}.
  • Para \int -12x^{2}\,dx:
-12\int x^{2}\,dx = -12\cdot\frac{x^{3}}{3} = -4x^{3}.
  • Para \int 9\,dx:
9\int 1\,dx = 9x.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(2x^{2}-3\bigr)^{2}\,dx = \frac{4}{5}x^{5} \;-\;4x^{3}\;+\;9x\;+\;C.

Resposta

\frac{4}{5}x^{5} -4x^{3} +9x + C

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