Calcule as integrais indefinidas.
\int \operatorname{sen}(\sqrt{x}) d x
(dica: u=\sqrt{x}.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin(\sqrt{x})\,dx
e sugere a substituição u=\sqrt{x}. O conteúdo usado será substituição simples e, depois, integração por partes.

Passo 2

Fazendo u=\sqrt{x}, temos
x = u^2
e
dx = 2u\,du.
Substituindo na integral original, obtemos
\int \sin(\sqrt{x})\,dx = \int \sin(u)\,\bigl(2u\,du\bigr) = \int 2u\sin(u)\,du.

Passo 3

Para calcular
\int 2u\sin(u)\,du
vamos usar integração por partes, escolhendo
\begin{cases} v = 2u,& dv = 2\,du,\\\ dw = \sin(u)\,du,& w = -\cos(u). \end{cases}
Então
\int 2u\sin(u)\,du = v\,w - \int w\,dv = \bigl(2u\bigr)\bigl(-\cos(u)\bigr) - \int \bigl(-\cos(u)\bigr)\,(2\,du).
Isto é
\int 2u\sin(u)\,du = -2u\cos(u) + 2\int \cos(u)\,du = -2u\cos(u) + 2\sin(u) + C.

Passo 4

Substituindo de volta u=\sqrt{x}, a primitiva fica
-2\sqrt{x}\cos\bigl(\sqrt{x}\bigr) + 2\sin\bigl(\sqrt{x}\bigr) + C.

Resposta

\int \sin(\sqrt{x})\,dx = -2\sqrt{x}\cos\bigl(\sqrt{x}\bigr) + 2\sin\bigl(\sqrt{x}\bigr) + C.

Exercícios relacionados