^{a} Questão.(2,5 pts)
Mostre que \int_{-1}^{1} \frac{x+1}{x^{2}+5 x+6} d x=2 \ln 2-\ln 3

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral
\int_{-1}^{1}\frac{x+1}{x^{2}+5x+6}\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de função racional, que resolvemos por decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3).
Logo buscamos constantes A e B tais que
\frac{x+1}{(x+2)(x+3)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+3}.

Passo 3

Igualando numeradores:
x+1 = A(x+3)+B(x+2)=(A+B)x + (3A+2B).
Assim obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=1,\\\\ 3A+2B=1. \end{cases}
Da primeira equação A=1-B. Substituindo na segunda:
3(1-B)+2B=1\quad\Longrightarrow\quad3-3B+2B=1\quad\Longrightarrow\quad B=2,
então A=1-2=-1.

Passo 4

Portanto
\frac{x+1}{(x+2)(x+3)} =-\frac{1}{x+2}+\frac{2}{x+3}.
Integrando termo a termo:
\int\frac{x+1}{x^{2}+5x+6}\,dx =-\int\frac{1}{x+2}\,dx +2\int\frac{1}{x+3}\,dx =-\ln|x+2|+2\ln|x+3|+C.

Passo 5

Avaliando de -1 a 1:
\Bigl[-\ln|x+2|+2\ln|x+3|\Bigr]_{-1}^{1} =\bigl(-\ln3+2\ln4\bigr)-\bigl(-\ln1+2\ln2\bigr).
Como \ln1=0 e \ln4=2\ln2, temos
(-\ln3+2\cdot2\ln2)-2\ln2 =-\ln3+4\ln2-2\ln2 =2\ln2-\ln3.

Resposta

\int_{-1}^{1}\frac{x+1}{x^{2}+5x+6}\,dx = 2\ln2 - \ln3.

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