Calcule a integral indefinida.
\int t^{3} e^{-t^{4}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int t^{3} e^{-t^{4}} \, dt.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois vemos t^{3} que se relaciona diretamente com a derivada de t^{4}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = -t^{4}.
Diferenciando ambos os lados,
du = -4\,t^{3}\,dt \quad\Longrightarrow\quad t^{3}\,dt = -\tfrac{1}{4}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original,
\int t^{3} e^{-t^{4}} \, dt = \int e^{u} \bigl(-\tfrac{1}{4}\,du\bigr) = -\tfrac{1}{4} \int e^{u} \, du.
Agora integramos em u:
-\tfrac{1}{4} \int e^{u} \, du = -\tfrac{1}{4} e^{u} + C.

Passo 4

Retornando à variável t usando u = -t^{4}, obtemos
-\tfrac{1}{4} e^{-t^{4}} + C.

Resposta

-\tfrac{1}{4} e^{-t^{4}} + C

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