Calcule a integrais indefinidas
\int x^{3}+2 \frac{1}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral indefinida da expressão dada. As informações relevantes são:
\displaystyle \int \left(x^{3} + 2\frac{1}{x}\right)\,dx.
Ou seja, a função a integrar é a soma de duas parcelas: \;x^{3}\; e \;2\cdot\frac{1}{x}\;. Não há outras condições (por exemplo domínio), então procuramos uma primitiva geral com a constante de integração C.

Passo 2

Regra da linearidade das integrais — ferramenta que vamos usar: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem ser puxadas para fora da integral. Em fórmulas:
\int \big(f(x)+g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx
\int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx,
onde c é uma constante. Aqui f(x)=x^{3} e g(x)=2\cdot\frac{1}{x}. Aplicando essa regra, podemos dividir a integral em duas integrais mais simples.

Passo 3

Aplicando a linearidade ao nosso caso:
\int \left(x^{3} + 2\frac{1}{x}\right)\,dx = \int x^{3}\,dx + 2\int \frac{1}{x}\,dx.
Agora vamos tratar cada integral separadamente. Isto facilita muito porque já conhecemos fórmulas padrão para potências e para 1/x.

Passo 4

Regra da potência para integrais — quando a função é uma potência \;x^{n}\; com n\neq -1:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n é um número real que indica o expoente. Explicando por que: a derivada de \dfrac{x^{n+1}}{n+1} é x^{n} (pela regra da potência para derivadas), então essa fração é uma primitiva de x^{n}. Exemplo rápido: \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}+C.

Passo 5

Aplicando a regra da potência à primeira integral \int x^{3}\,dx: aqui n=3. Logo
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4} + C_1,
onde C_1 é uma constante (que mais tarde será absorvida pela constante final).

Passo 6

Caso especial n=-1 — integral de 1/x: quando a função é \;x^{-1}=\dfrac{1}{x}\;, a regra da potência não vale porque daria divisão por zero. O resultado conhecido é
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
Aqui usamos o logaritmo natural e o valor absoluto porque a primitiva deve ser definida tanto para x>0 quanto para x<0. Exemplo: \dfrac{d}{dx}\ln|x| = \dfrac{1}{x}.

Passo 7

Voltando à segunda integral 2\int \dfrac{1}{x}\,dx: pela propriedade da constante multiplicativa e pelo caso especial,
2\int \frac{1}{x}\,dx = 2\ln|x| + C_2.

Passo 8

Somando as duas primitivas obtidas e recolhendo as constantes (podemos somar C_1 e C_2 numa única constante C), obtemos a primitiva geral da função original:
\frac{x^{4}}{4} + 2\ln|x| + C.

Passo 9

Verificação rápida (checagem): derivando a resposta devemos voltar ao integrando.
Derivando \dfrac{x^{4}}{4} + 2\ln|x| obtemos \;x^{3} + 2\cdot\dfrac{1}{x}\;, que é exatamente o integrando. Então a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{4}}{4} + 2\ln|x| + C

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