Calcule a integrais indefinidas
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral indefinida da expressão dada. As informações relevantes são:
.
Ou seja, a função a integrar é a soma de duas parcelas: e
. Não há outras condições (por exemplo domínio), então procuramos uma primitiva geral com a constante de integração
.
Ou seja, a função a integrar é a soma de duas parcelas:
Passo 2
Regra da linearidade das integrais — ferramenta que vamos usar: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem ser puxadas para fora da integral. Em fórmulas:
onde
é uma constante. Aqui
e
. Aplicando essa regra, podemos dividir a integral em duas integrais mais simples.
Passo 3
Aplicando a linearidade ao nosso caso:
Agora vamos tratar cada integral separadamente. Isto facilita muito porque já conhecemos fórmulas padrão para potências e para
.
Passo 4
Regra da potência para integrais — quando a função é uma potência
com
:
Aqui
é um número real que indica o expoente. Explicando por que: a derivada de
é
(pela regra da potência para derivadas), então essa fração é uma primitiva de
. Exemplo rápido:
.
Passo 5
Aplicando a regra da potência à primeira integral
: aqui
. Logo
onde
é uma constante (que mais tarde será absorvida pela constante final).
Passo 6
Caso especial
— integral de
: quando a função é
, a regra da potência não vale porque daria divisão por zero. O resultado conhecido é
Aqui usamos o logaritmo natural e o valor absoluto porque a primitiva deve ser definida tanto para
quanto para
. Exemplo:
.
Passo 7
Voltando à segunda integral
: pela propriedade da constante multiplicativa e pelo caso especial,
Passo 8
Somando as duas primitivas obtidas e recolhendo as constantes (podemos somar
e
numa única constante
), obtemos a primitiva geral da função original:
Passo 9
Verificação rápida (checagem): derivando a resposta devemos voltar ao integrando.
Derivando obtemos
, que é exatamente o integrando. Então a primitiva está correta.
Derivando