Calcule a integrais indefinidas
\int e^{x}+x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int e^{x}+x^{2}\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A integranda é a soma de duas funções: \,e^{x}\, e \,x^{2}\,.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) geral, isto é, a integral indefinida, que inclui a constante de integração.
    Não vou resolver nada ainda aqui; só organizei o que precisa ser encontrado.

Passo 2

Propriedade importante que vamos usar: a linearidade da integral. Ela diz que a integral da soma é a soma das integrais e que constantes saem da integral. Em fórmulas:
\int (f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.
Isso é útil porque podemos tratar \,e^{x}\, e \,x^{2}\, separadamente.

Passo 3

Aplicando a linearidade ao nosso caso, escrevemos:
\int e^{x}+x^{2}\,dx=\int e^{x}\,dx+\int x^{2}\,dx.
Agora resolvemos cada uma das duas integrais à direita.

Passo 4

Integral de \,e^{x}\,.
Fato básico: a derivada de \,e^{x}\, é \,e^{x}\, e, consequentemente, uma primitiva de \,e^{x}\, é ela mesma. Em símbolos:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}\quad\Longrightarrow\quad \int e^{x}\,dx=e^{x}+C_1,
onde C_1 é uma constante (quando combinarmos com outra constante, teremos apenas uma constante final).

Passo 5

Integral de \,x^{2}\, — regra da potência.
Regra geral (potência): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Explicação rápida do porquê: se diferenciarmos \frac{x^{n+1}}{n+1} obtemos \frac{n+1}{n+1}x^{n}=x^{n}, então essa fração é mesmo uma primitiva. Aplicando com n=2:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}=\frac{x^{3}}{3}+C_2,
onde C_2 é constante.

Passo 6

Somando as primitivas obtidas e juntando as constantes de integração (duas constantes somadas é só uma constante geral C), temos:
\int e^{x}+x^{2}\,dx=e^{x}+\frac{x^{3}}{3}+C.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (para confiar no resultado): diferencie a função F(x)=e^{x}+\dfrac{x^{3}}{3}+C.
F'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}+\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{3}}{3}\right)+\frac{d}{dx}C = e^{x} + \frac{3x^{2}}{3} + 0 = e^{x}+x^{2},
que é exatamente a integranda. Perfeito!

Resposta

e^{x}+\frac{x^{3}}{3}+C

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