Calcule a integrais indefinidas
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A integranda é a soma de duas funções:
e . - Queremos uma primitiva (antiderivada) geral, isto é, a integral indefinida, que inclui a constante de integração.
Não vou resolver nada ainda aqui; só organizei o que precisa ser encontrado.
Passo 2
Propriedade importante que vamos usar: a linearidade da integral. Ela diz que a integral da soma é a soma das integrais e que constantes saem da integral. Em fórmulas:
Isso é útil porque podemos tratar
e
separadamente.
Passo 3
Aplicando a linearidade ao nosso caso, escrevemos:
Agora resolvemos cada uma das duas integrais à direita.
Passo 4
Integral de
.
Fato básico: a derivada de é
e, consequentemente, uma primitiva de
é ela mesma. Em símbolos:
Fato básico: a derivada de
onde
é uma constante (quando combinarmos com outra constante, teremos apenas uma constante final).
Passo 5
Integral de
— regra da potência.
Regra geral (potência): para ,
Regra geral (potência): para
Explicação rápida do porquê: se diferenciarmos
obtemos
, então essa fração é mesmo uma primitiva. Aplicando com
:
onde
é constante.
Passo 6
Somando as primitivas obtidas e juntando as constantes de integração (duas constantes somadas é só uma constante geral
), temos:
Passo 7
Verificação rápida por diferenciação (para confiar no resultado): diferencie a função
.
que é exatamente a integranda. Perfeito!