Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int \arctan (\sqrt{x}) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \arctan\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,dx
ou seja, é uma integral indefinida envolvendo a função composta \arctan(\sqrt{x}). Para resolvê-la, vamos usar duas técnicas clássicas: mudança de variável para simplificar o radical e depois integração por partes para tratar o arco-tangente.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \sqrt{x} \quad\Longrightarrow\quad x = t^2 \quad\Longrightarrow\quad dx = 2t\,dt.
Assim,
\int \arctan\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,dx = \int \arctan(t)\;\underbrace{2t\,dt}_{dx}.

Passo 3

Reescrevendo,
\int \arctan(\sqrt{x})\,dx = \int 2t\,\arctan(t)\,dt.

Passo 4

Aplicamos então integração por partes, com
u = \arctan(t), \quad dv = 2t\,dt \displaystyle\Longrightarrow du = \frac{1}{1+t^2}\,dt, \quad v = t^2.
Pela fórmula \displaystyle\int u\,dv = u\,v - \int v\,du, obtém-se
\int 2t\,\arctan(t)\,dt = t^2\,\arctan(t) - \int t^2\cdot\frac{1}{1+t^2}\,dt.

Passo 5

Simplificamos o integrando restante:
\frac{t^2}{1+t^2} = 1 - \frac{1}{1+t^2},
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\int t^2\cdot\frac{1}{1+t^2}\,dt = \int\Bigl(1 - \frac{1}{1+t^2}\Bigr)\,dt = \int1\,dt - \int\frac{1}{1+t^2}\,dt = t - \arctan(t) + C.
Substituindo de volta em u\,v - \int v\,du:
\int 2t\,\arctan(t)\,dt = t^2\,\arctan(t) - \bigl(t - \arctan(t)\bigr) + C = t^2\,\arctan(t) - t + \arctan(t) + C.

Passo 6

Volta-mos à variável x usando t = \sqrt{x}:
t^2 = x, \quad \arctan(t) = \arctan\bigl(\sqrt{x}\bigr), \quad t = \sqrt{x}.
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\int \arctan\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,dx = x\,\arctan\bigl(\sqrt{x}\bigr) - \sqrt{x} + \arctan\bigl(\sqrt{x}\bigr) + C = (x+1)\,\arctan\bigl(\sqrt{x}\bigr) - \sqrt{x} + C.

Resposta

\boxed{ \int \arctan\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,dx = (x+1)\,\arctan\bigl(\sqrt{x}\bigr) - \sqrt{x} + C. }

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