Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int x^{2} \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{2}\ln x\,dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, que usamos quando temos um produto de funções cujo antiderivado direto não é imediato. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as funções para aplicar a fórmula:
u = \ln x \quad\text{e}\quad dv = x^{2}\,dx.
Assim, vamos calcular du e v.

Passo 3

Derivando u e integrando dv, obtemos:
du = \frac{1}{x}\,dx \quad\text{e}\quad v = \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Agora aplicamos a fórmula de partes:
\int x^{2}\ln x\,dx = u\,v - \int v\,du = \frac{x^{3}}{3}\ln x \;-\;\int \frac{x^{3}}{3}\,\frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

Simplificamos a integral restante:
\int \frac{x^{3}}{3}\,\frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{3}\int x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{9}.
Portanto,
\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x \;-\;\frac{x^{3}}{9} + C.

Resposta

\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{x^{3}}{9} + C.

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