Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int \frac{\ln x}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\ln x}{1+x^{2}}\,dx
Queremos a primitiva (integração indefinida). Como não foram dados limites, não é possível avaliar a integral definida sem mais informação.

Passo 2

Vamos usar integração por partes. Escolhemos
u = \ln x,\quad dv = \frac{dx}{1+x^{2}}.
Então
du = \frac{dx}{x},\quad v = \arctan x.

Passo 3

Pela fórmula de partes,
\int \frac{\ln x}{1+x^{2}}\,dx = u\,v - \int v\,du = \ln x\;\arctan x - \int \frac{\arctan x}{x}\,dx.

Passo 4

Resta calcular
\int \frac{\arctan x}{x}\,dx.
Um antiderivado conhecido envolve a função dilogarítmica \mathrm{Li}_{2}. O resultado padrão é
\int \frac{\arctan x}{x}\,dx = \frac{i}{2}\Bigl[\mathrm{Li}_{2}(-\,i x)-\mathrm{Li}_{2}(i x)\Bigr]+C.

Passo 5

Substituindo em (3), obtemos a forma final da primitiva:
\int \frac{\ln x}{1+x^{2}}\,dx = \ln x\;\arctan x - \frac{i}{2}\Bigl[\mathrm{Li}_{2}(-\,i x)-\mathrm{Li}_{2}(i x)\Bigr] + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{\ln x}{1+x^{2}}\,dx = \ln x\,\arctan x - \frac{i}{2}\Bigl[\mathrm{Li}_{2}(-\,i x)-\mathrm{Li}_{2}(i x)\Bigr] + C }
Para a integral definida é preciso conhecer os limites de integração, que não foram fornecidos.

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