Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int x \cos (\ln x) d x

Passo 1

O enunciado pede para achar a primitiva (integrais indefinidas) da função
f(x)=x\cos\bigl(\ln x\bigr)
e também escrever a forma geral da integral definida. Vamos usar substituição para transformar em uma integral do tipo \int e^{at}\cos(bt)\,dt, e depois aplicar o resultado conhecido dessa classe de integrais.

Passo 2

Façamos a substituição
t = \ln x,\quad\text{então}\quad x = e^t,\quad dx = e^t\,dt.ã
Com isso temos
x\,dx = e^t\cdot e^t\,dt = e^{2t}\,dt
e
\cos\bigl(\ln x\bigr)=\cos t.
Logo a integral vira
\int x\cos(\ln x)\,dx = \int e^{2t}\cos t\,dt.

Passo 3

Para calcular
\int e^{2t}\cos t\,dt
podemos usar a fórmula padrão
\int e^{at}\cos(bt)\,dt = \frac{e^{at}}{a^2+b^2}\bigl(a\cos(bt)+b\sin(bt)\bigr)+C.
Aqui a=2 e b=1, de modo que
\int e^{2t}\cos t\,dt = \frac{e^{2t}}{2^2+1^2}\bigl(2\cos t + 1\cdot\sin t\bigr)+C = \frac{e^{2t}}{5}\bigl(2\cos t + \sin t\bigr)+C.

Passo 4

Voltando à variável x, temos e^{2t}=x^2 e t=\ln x. Assim a primitiva é
\int x\cos(\ln x)\,dx = \frac{x^2}{5}\Bigl(2\cos(\ln x)+\sin(\ln x)\Bigr)+C.

Passo 5

Para a integral definida em qualquer intervalo [a,b]\subset(0,\infty), basta usar
\int_{a}^{b} x\cos(\ln x)\,dx = \left[\frac{x^2}{5}\Bigl(2\cos(\ln x)+\sin(\ln x)\Bigr)\right]_{x=a}^{x=b}.

Resposta

\boxed{\int x\cos(\ln x)\,dx = \frac{x^2}{5}\Bigl(2\cos(\ln x)+\sin(\ln x)\Bigr)+C},
e para 0<a<b,
\int_{a}^{b} x\cos(\ln x)\,dx = \frac{b^2}{5}\bigl(2\cos(\ln b)+\sin(\ln b)\bigr) - \frac{a^2}{5}\bigl(2\cos(\ln a)+\sin(\ln a)\bigr).

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