Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int_{0}^{2}(2 x-3)\left(4 x^{2}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida de (2x-3)(4x^2+1) e também a integral definida desse mesmo integrando no intervalo de 0 a 2. O conteúdo é integração de polinômios via expansão e aplicação da regra de potência.

Passo 2

Expandimos o produto para facilitar a integração:
(2x-3)(4x^2+1) =2x\cdot4x^2 + 2x\cdot1 -3\cdot4x^2 -3\cdot1 =8x^3 - 12x^2 +2x -3.

Passo 3

Integramos termo a termo usando \int x^n dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1}:
\int (8x^3 -12x^2 +2x -3)\,dx =8\cdot\frac{x^4}{4} -12\cdot\frac{x^3}{3} +2\cdot\frac{x^2}{2} -3x + C =2x^4 -4x^3 + x^2 -3x + C.

Passo 4

Para a integral definida de 0 a 2, avaliamos a antiderivada F(x)=2x^4 -4x^3 + x^2 -3x:
F(2)=2\cdot2^4 -4\cdot2^3 +2^2 -3\cdot2 =2\cdot16 -4\cdot8 +4 -6 =32 -32 +4 -6 =-2,
F(0)=0.
Logo,
\int_{0}^{2}(2x-3)(4x^2+1)\,dx = F(2)-F(0) = -2.

Resposta

\int (2x-3)(4x^2+1)\,dx = 2x^4 -4x^3 + x^2 -3x + C.
\int_{0}^{2}(2x-3)(4x^2+1)\,dx = -2.

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