Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int \frac{\ln (x)}{(x+1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\ln(x)}{(x+1)^{2}}\,dx
e menciona integrais definidas, mas não fornece limites. Assim, só podemos resolver a parte indefinida; não há como calcular integrais definidas sem os limites de integração.

Passo 2

Para a parte indefinida, usemos integração por partes. Escolhemos
u = \ln(x),\quad dv = \frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx.
Então
du = \frac{1}{x}\,dx, \qquad v = \int \frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx = -\frac{1}{x+1}.

Passo 3

A fórmula de integração por partes dá
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
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\int \frac{\ln(x)}{(x+1)^{2}}\,dx = -\frac{\ln(x)}{x+1} - \int \Bigl(-\frac{1}{x+1}\Bigr)\,\frac{1}{x}\,dx = -\frac{\ln(x)}{x+1} + \int \frac{1}{x(x+1)}\,dx.

Passo 4

Decompondo em frações parciais:
\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}.
Então
\int \frac{1}{x(x+1)}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx - \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln|x| - \ln|x+1|.

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos
\int \frac{\ln(x)}{(x+1)^{2}}\,dx = -\frac{\ln(x)}{x+1} + \ln|x| - \ln|x+1| + C = -\frac{\ln(x)}{x+1} + \ln\!\Bigl|\frac{x}{x+1}\Bigr| + C.

Resposta

\int \frac{\ln(x)}{(x+1)^{2}}\,dx = -\frac{\ln(x)}{x+1} + \ln\!\Bigl|\frac{x}{x+1}\Bigr| + C.
Não é possível calcular integrais definidas porque não foram fornecidos os limites de integração.

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