Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{4+x^{6}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{4 + x^{6}}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é técnica de substituição, reconhecendo que a expressão 4+x^6 sugere usar u = x^3.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{3} \quad\Longrightarrow\quad du = 3\,x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int \frac{x^{2}}{\sqrt{4 + x^{6}}}\,dx, obtemos
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{4 + x^{6}}}\,dx = \frac{1}{3} \int \frac{du}{\sqrt{4 + u^{2}}}.

Passo 4

Lembrando a fórmula
\int \frac{du}{\sqrt{a^{2} + u^{2}}} = \operatorname{arsinh}\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr) + C,
com a=2, temos
\int \frac{du}{\sqrt{4 + u^{2}}} = \operatorname{arsinh}\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr) + C.

Passo 5

Portanto,
\frac{1}{3} \int \frac{du}{\sqrt{4 + u^{2}}} = \frac{1}{3}\,\operatorname{arsinh}\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr) + C.

Passo 6

Voltando à variável x (ou seja, u = x^{3}), obtemos
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{4 + x^{6}}}\,dx = \frac{1}{3}\,\operatorname{arsinh}\!\bigl(\tfrac{x^{3}}{2}\bigr) + C.

Resposta

\boxed{\int \frac{x^{2}}{\sqrt{4 + x^{6}}}\,dx = \frac{1}{3}\,\operatorname{arsinh}\!\bigl(\tfrac{x^{3}}{2}\bigr) + C.}

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