Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int \frac{x^{3}}{e^{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{3}}{e^{x}}\,dx
ou seja,
\int x^{3}e^{-x}\,dx.
O método mais direto aqui é usar integração por partes repetidamente ou, de forma mais elegante, aplicar a fórmula de redução para \displaystyle I_{n}=\int x^{n}e^{-x}\,dx.

Passo 2

A fórmula de redução para I_{n} é
I_{n}=\int x^{n}e^{-x}\,dx =-x^{n}e^{-x}+n\int x^{n-1}e^{-x}\,dx =-x^{n}e^{-x}+n\,I_{n-1}.
Vamos usá-la para n=3, aproveitando que precisamos de I_{2}, I_{1} e I_{0}.

Passo 3

Calculemos as bases da redução:
Para n=0:
I_{0}=\int e^{-x}\,dx=-e^{-x}.
Para n=1:
I_{1}=-x\,e^{-x}+1\cdot I_{0} =-x\,e^{-x}-e^{-x} =-(x+1)e^{-x}.
Para n=2:
I_{2}=-x^{2}e^{-x}+2\,I_{1} =-x^{2}e^{-x}+2\bigl[-(x+1)e^{-x}\bigr] =-(x^{2}+2x+2)e^{-x}.
Finalmente, para n=3:
I_{3}=-x^{3}e^{-x}+3\,I_{2} =-x^{3}e^{-x}+3\bigl[-(x^{2}+2x+2)e^{-x}\bigr] =-(x^{3}+3x^{2}+6x+6)e^{-x}+C.

Resposta

\int \frac{x^{3}}{e^{x}}\,dx =-(x^{3}+3x^{2}+6x+6)e^{-x}+C.

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