Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int\left(\operatorname{cossec}^{2} t-2 e^{t}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(\csc^{2}t - 2e^{t}\bigr)\,dt.
O conteúdo é integração de funções trigonométricas básicas e exponenciais. Vamos usar as fórmulas
\int \csc^{2}t\,dt = -\cot t + C
e
\int e^{t}\,dt = e^{t} + C.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes, usando a linearidade:
\int\bigl(\csc^{2}t - 2e^{t}\bigr)\,dt = \int \csc^{2}t\,dt \;-\; 2\int e^{t}\,dt.

Passo 3

Calculamos a parte trigonométrica. Como \dfrac{d}{dt}(\cot t) = -\csc^{2}t, temos
\int \csc^{2}t\,dt = -\cot t + C_{1}.

Passo 4

Calculamos a parte exponencial:
\int e^{t}\,dt = e^{t} + C_{2}.
Multiplicando por -2, fica -2\int e^{t}\,dt = -2e^{t} + C_{3}.

Passo 5

Somando os resultados e absorvendo constantes num único C, obtemos
\int\bigl(\csc^{2}t - 2e^{t}\bigr)\,dt = -\cot t - 2e^{t} + C.

Resposta

-\cot t \;-\; 2e^{t} + C.

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