Questão 6 (2,0 pontos)
Resolva as equações diofantinas lineares:
b) 14 x+22 y=50

Passo 1

O enunciado pede a resolução da equação diofantina linear
14x + 22y = 50
Usaremos teoria de equações diofantinas: cálculo do \gcd, divisão pela raiz comum, busca de solução particular e construção da solução geral.

Passo 2

Calcular \gcd(14,22) pelo Algoritmo de Euclides:
22 = 14\cdot1 + 8,\quad 14 = 8\cdot1 + 6,\quad 8 = 6\cdot1 + 2,\quad 6 = 2\cdot3 + 0.
Logo \gcd(14,22)=2. Como 2\mid50, existe solução inteira.

Passo 3

Dividimos a equação original por 2, obtendo a forma simplificada
7x + 11y = 25,
cujo \gcd(7,11)=1.

Passo 4

Procuramos uma solução particular de
7x + 11y = 25.
Tentando y=1 7x = 25 - 11 = 14, logo x=2. Assim (x_0,y_0)=(2,1) é uma solução particular.

Passo 5

A solução geral de
7x + 11y = 25
é dada por
x = x_0 + 11t = 2 + 11t,\quad y = y_0 - 7t = 1 - 7t,\quad t\in \mathbb{Z}.
Como dividimos por 2 uniformemente, essa é também a solução geral da equação original.

Resposta

x = 2 + 11t,\quad y = 1 - 7t,\quad t\in \mathbb{Z}.

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