Questão 6 (2,0 pontos)
Resolva as equações diofantinas lineares:
a) 39 x+26 y=105

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diofantina linear
39x + 26y = 105
O conteúdo aqui é usar o algoritmo de Euclides para encontrar \gcd(39,26) e verificar se esse máximo divisor comum divide o termo independente 105. Se não dividir, não há solução inteira.

Passo 2

Aplicamos o algoritmo de Euclides para calcular \gcd(39,26):
39 = 1 \cdot 26 + 13, \quad 26 = 2 \cdot 13 + 0.
Como o resto chegou a zero, concluímos
\gcd(39,26) = 13.

Passo 3

Para que a equação
39x + 26y = 105
tenha solução inteira, é necessário que
13 \mid 105.
Mas 13 \times 8 = 104 e 13 \times 9 = 117, logo 13\nmid 105.

Passo 4

Como o máximo divisor comum 13 não divide 105, não existem inteiros x e y que satisfaçam a equação.

Resposta

Não há solução inteira para 39x + 26y = 105.

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