Verifique se o campo (respectivamente a forma) é conservativo (respectivamente exata) e determine uma função potencial em caso afirmativo.
d. F(x, y, z)=x i+y j+z k. [resp.: varphi(x, y)=12(x^2+y^2+z^2)+C]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial vec F(x,y,z)=x,vec i+y,vec j+z,vec k é conservativo (ou seja, se o rotacional é zero) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial varphi(x,y,z). Vamos usar a condição de que, em um domínio simplesmente conexo como R^3, vec F é conservativo se e somente se nablatimesvec F=vec0, e depois integrar para obter varphi.

Passo 2

Para calcular o rotacional de vec F=(P,Q,R) com P=x, Q=y e R=z, usamos:
[\nabla \times \vec F = partial Rpartial y - partial Qpartial z partial Ppartial z - partial Rpartial x partial Qpartial x - partial Ppartial y .]
Agora computamos cada derivada: partial R/partial y=0, partial Q/partial z=0, partial P/partial z=0, partial R/partial x=0, partial Q/partial x=0, partial P/partial y=0. Logo nablatimesvec F=(0,0,0), então vec F é conservativo em R^3. A seguir, buscamos varphi tal que nablavarphi=vec F.

Passo 3

Da condição partialvarphi/partial x=x, integrando em x obtemos varphi(x,y,z)=tfracx^22+g(y,z). Da condição partialvarphi/partial y=y temos partial/partial y[tfracx^22+g(y,z)]=gy(y,z)=y, então g(y,z)=tfracy^22+h(z). Por fim, partialvarphi/partial z=z implica h'(z)=z, logo h(z)=tfracz^22+C.

Passo 4

Reunindo tudo, varphi(x,y,z)=tfracx^22+tfracy^22+tfracz^22+C.

Resposta

varphi(x,y,z)=tfrac12(x^2+y^2+z^2)+C

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