Verifique se o campo (respectivamente a forma) é conservativo (respectivamente exata) e determine uma função potencial em caso afirmativo.
d. . [resp.:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial é conservativo (ou seja, se o rotacional é zero) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial . Vamos usar a condição de que, em um domínio simplesmente conexo como , é conservativo se e somente se , e depois integrar para obter .
Passo 2
Para calcular o rotacional de com , e , usamos:
[\nabla \times \vec F = .]
Agora computamos cada derivada: partial R/partial y=0, partial Q/partial z=0, partial P/partial z=0, partial R/partial x=0, partial Q/partial x=0, partial P/partial y=0. Logo nablatimesvec F=(0,0,0), então vec F é conservativo em R^3. A seguir, buscamos varphi tal que nablavarphi=vec F.
Passo 3
Da condição partialvarphi/partial x=x, integrando em x obtemos varphi(x,y,z)=tfracx^22+g(y,z). Da condição partialvarphi/partial y=y temos partial/partial y[tfracx^22+g(y,z)]=gy(y,z)=y, então g(y,z)=tfracy^22+h(z). Por fim, partialvarphi/partial z=z implica h'(z)=z, logo h(z)=tfracz^22+C.