Seja f(-pi / 2)+f(pi / 2). Qual é o valor de raiz2 pi^32-1 ?
(a) 0
(b)
©
(d)
(e) NDA

Passo 1

O enunciado pede para calcular f(-π/2)+f(π/2), onde f(x)=(x3–x2+3x–5)·cos(x/2). O conteúdo é análise de paridade de funções e avaliação de polinômio e cosseno.

Passo 2

A função cos(x/2) é par, isto é, cos(–x/2)=cos(x/2). Já o polinômio p(x)=x3–x2+3x–5 tem parte ímpar e par. Vamos usar que f(x)+f(–x)=[p(x)+p(–x)]·cos(x/2).

Passo 3

Calculamos p(–x):
p(-x)=(-x)^3-(-x)^2+3(-x)-5=-x^3 - x^2 -3x -5

Passo 4

Somando p(x)+p(–x) obtemos:
p(x)+p(-x)=(x^3 - x^2 +3x -5)+(-x^3 - x^2 -3x -5)=-2x^2 -10

Passo 5

Logo
f(x)+f(-x)=[-2x^2 -10]cdot cosl(tfracx2r)

Passo 6

Agora basta avaliar em x=π/2:
f(pi/2)+f(-pi/2)=[-2(tfracpi2)^2 -10]cdot cos(tfracpi4)=l(-tfracpi^22-10r)cdot tfracraiz22

Passo 7

Isso dá
-raiz22l(pi^22+10r)

Passo 8

Nenhuma das alternativas (a) a (d) coincide com esse valor, portanto a resposta é a alternativa (e) NDA.

Resposta

-\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigl(\frac{\pi^2}{2}+10\Bigr)

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