Calcule as integrais indefinidas:
a) integral x^2-1raiz2 x-1 d x

Passo 1

A integral dada é integral x^2-1raiz2x-1,dx. O conteúdo envolvido é integração indefinida usando mudança de variável para lidar com a raiz. Vamos precisar usar a substituição e em seguida integrar potências de uma nova variável aplicando a regra integral t^n,dt=t^n+1n+1+C.

Passo 2

Para eliminar a raiz, fazemos a substituição t=2x-1. Então dt=2,dx ou dx=tfracdt2. Além disso, x=tfract+12, logo
x^2-1=l(t+12r)^2-1=t^2+2t+1-44=t^2+2t-34

Passo 3

Substituindo tudo na integral, temos
integral x^2-1raiz2x-1,dx =integral tfract^2+2t-34t^1/2cdotdt2 =18integrall(t^3/2+2t^1/2-3t^-1/2r),dt

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência em cada termo:
integral t^3/2,dt=25t^5/2, integral t^1/2,dt=23t^3/2, integral t^-1/2,dt=2t^1/2 Multiplicando pelos coeficientes dentro de tfrac18, obtemos
18l(25t^5/2+2cdot23t^3/2-3cdot2t^1/2r) =t^5/220+t^3/26-34t^1/2+C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original x usando t=2x-1. A resposta final é
(2x-1)^5/220+(2x-1)^3/26-34(2x-1)^1/2+C

Resposta

\frac{(2x-1){5/2}}{20}+\frac{(2x-1){3/2}}{6}-\frac{3}{4}(2x-1)^{1/2}+C

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