Uma sequência de três números não nulos
está em progressão harmônica se seus inversos
nesta ordem, formam uma progressão aritmética.
As raízes da equação a seguir, de incógnita
, estão em progressão harmônica.
Apresente a única raiz real dessa equação.
Resposta:
As raízes da equação a seguir, de incógnita
Passo 1
O enunciado diz que as raízes não nulas
da equação
formam uma progressão harmônica, isto é,
é uma progressão aritmética. Para resolver, vamos usar as fórmulas de Viète e a condição de progressão harmônica.
Passo 2
Pelas fórmulas de Viète, as raízes
satisfazem
A condição de progressão harmônica em termos de
é
Definindo
temos
Passo 3
Da equação
vem
Substituindo em
obtém-se
Por outro lado, de
segue
Igualando as duas expressões para
:
Resposta
A única raiz real da equação é
.