Uma sequência de três números não nulos (a, b, c) está em progressão harmônica se seus inversos
\left(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}\right)
nesta ordem, formam uma progressão aritmética.
As raízes da equação a seguir, de incógnita x, estão em progressão harmônica.
x^{3}+m x^{2}+15 x-25=0
Apresente a única raiz real dessa equação.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado diz que as raízes não nulas a,b,c da equação
x^{3}+m x^{2}+15 x-25=0
formam uma progressão harmônica, isto é, \bigl(1/a,1/b,1/c\bigr) é uma progressão aritmética. Para resolver, vamos usar as fórmulas de Viète e a condição de progressão harmônica.

Passo 2

Pelas fórmulas de Viète, as raízes a,b,c satisfazem
a + b + c = -m,\quad ab + bc + ca = 15,\quad abc = 25.
A condição de progressão harmônica em termos de a,b,c é
2\bigl(\tfrac1b\bigr)=\tfrac1a+\tfrac1c \quad\Longrightarrow\quad 2\,ac = b\,(a+c).
Definindo
S = a + c, \quad P = a\,c,
temos
b = \frac{2P}{S}, \quad P + bS = ab+bc+ca = 15, \quad b\,P = abc = 25.

Passo 3

Da equação b\,P=25 vem
P = \frac{25}{b}.
Substituindo em P + bS =15 obtém-se
\frac{25}{b} + bS = 15 \quad\Longrightarrow\quad bS = 15 - \frac{25}{b}.
Por outro lado, de b = 2P/S segue
bS = 2P = 2\cdot\frac{25}{b} = \frac{50}{b}.
Igualando as duas expressões para bS:
15 - \frac{25}{b} = \frac{50}{b} \quad\Longrightarrow\quad 15b - 25 = 50 \quad\Longrightarrow\quad 15b = 75 \quad\Longrightarrow\quad b = 5.

Resposta

A única raiz real da equação é 5.

Exercícios relacionados