Expanda em Série de Taylor as seguintes funções, em torno do ponto indicado.
\begin{array}{lllll} f(x)=\mathrm{e}^{x}, & f(x)=\sin x, & f(x)=\cos x, & f(x)=\operatorname{sinh} x, & f(x)=\operatorname{cosh} x, \\ f(x)=\ln (x), & f(x)=\sqrt{x}, & f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}, & f(x)=\mathrm{e}^{x}, & f(x)=\sin \left(\frac{\pi}{2} x\right), \end{array} \quad(\mathrm{em} x=1)

Passo 1

O enunciado pede que a gente escreva as séries de Taylor (Maclaurin quando o centro é 0 e Taylor em torno de 1 quando indicado) para dez funções. As cinco primeiras e^x, \sin x, \cos x, \operatorname{sinh} x e \operatorname{cosh} x são expandidas em torno de 0 (Maclaurin). As cinco seguintes \ln x, \sqrt{x}, 1/\sqrt{x}, e^x e \sin(\tfrac{\pi}{2}x) são expandidas em torno de x_0=1. Para as expansões em torno de 1, usamos a mudança de variável h=x-1.

Passo 2

As séries de Maclaurin conhecidas são:
e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!},
\sin x=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},
\cos x=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},
\operatorname{sinh} x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},
\operatorname{cosh} x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}.

Passo 3

Para expandir em torno de x_0=1 definimos h=x-1. A série de Taylor de uma função f é
f(1+h)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(1)}{n!}\,h^n.
Em muitos casos (logaritmo, raízes e binomiais) podemos usar diretamente séries conhecidas em h.

Passo 4

Usando séries de binômio ou logaritmo:
\ln x=\ln(1+h)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{\,n-1}\frac{h^n}{n},
\sqrt{x}=\sqrt{1+h}=\sum_{n=0}^\infty\binom{\tfrac12}{n}h^n =\sum_{n=0}^\infty\frac{\tfrac12(\tfrac12-1)\cdots(\tfrac12-n+1)}{n!}\,h^n,
\frac1{\sqrt{x}}=(1+h)^{-\tfrac12} =\sum_{n=0}^\infty\binom{-\tfrac12}{n}h^n =\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n\,\tfrac12(\tfrac12+1)\cdots(\tfrac12+n-1)}{n!}\,h^n.

Passo 5

Para e^x e \sin(\tfrac{\pi}{2}x) em torno de 1:
e^x=e^{1+h}=e\sum_{n=0}^\infty\frac{h^n}{n!},
\sin\Bigl(\tfrac{\pi}{2}x\Bigr) =\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}(1+h)\Bigr) =\sin\!\bigl(\tfrac\pi2+\tfrac\pi2h\bigr) =\cos\!\bigl(\tfrac\pi2h\bigr) =\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(\tfrac\pi2)^{2n}}{(2n)!}\,h^{2n}.

Resposta

e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}. \sin x=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}. \cos x=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}. \operatorname{sinh} x=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}. \operatorname{cosh} x=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}. \ln x=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^{\,n-1}\frac{(x-1)^n}{n}\quad\text{(para }x\approx1\text{)}. \sqrt{x}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\binom{\tfrac12}{n}(x-1)^n\quad\text{(para }x\approx1\text{)}. \dfrac1{\sqrt{x}}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\binom{-\tfrac12}{n}(x-1)^n\quad\text{(para }x\approx1\text{)}. e^x=e\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(x-1)^n}{n!}\quad\text{(para }x\approx1\text{)}. \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr) =\displaystyle\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(\tfrac\pi2)^{2n}}{(2n)!}(x-1)^{2n} \quad\text{(para }x\approx1\text{)}.

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