1. Defina o conceito de derivada de uma função real. Apresente uma interpretação geométrica da derivada de uma função.
  2. Explique o que você entende por diferencial de uma função f(x).
  3. Relembre as regras de derivação para: o produto de duas funções; o quociente de duas funções; da composição de duas funções, da inversa de uma função.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. Definir o conceito de derivada de uma função real e dar sua interpretação geométrica.
  2. Explicar o que é a diferencial de uma função f(x).
  3. Relembrar as regras de derivação para produto, quociente, composição e função inversa.

Passo 2

A derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação instantânea dessa função naquele ponto. Formalmente, para f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} e um ponto x_0 do domínio, dizemos que
f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
desde que esse limite exista.

Passo 3

Geometricamente, f'(x_0) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y=f(x) no ponto \bigl(x_0,f(x_0)\bigr). Se f'(x_0)>0, a reta sobe (função cresce); se f'(x_0)<0, a reta desce (função decresce); se f'(x_0)=0, a reta é horizontal (possível ponto de máximo, mínimo ou inflexão).

Passo 4

A diferencial de f no ponto x é um modo de aproximar o incremento real \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x) por uma parte linear. Definimos
dy = f'(x)\,dx,
onde dx é um incremento arbitrário em x e dy é a aproximação linear ao verdadeiro \Delta y.

Passo 5

Regra do produto: se u(x) e v(x) são deriváveis, então
(uv)' = u'\,v + u\,v'.

Passo 6

Regra do quociente: se u(x) e v(x) são deriváveis e v(x)\neq 0, então
\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr)' = \frac{u'\,v - u\,v'}{v^2}.

Passo 7

Regra da composição (cadeia): se g é derivável em x e f é derivável em g(x), então
(f\circ g)'(x) = f'\bigl(g(x)\bigr)\,\;g'(x).

Passo 8

Regra da função inversa: se f é derivável em x, inversível e f'(x)\neq 0, então sua inversa f^{-1} é derivável em y=f(x) e
\bigl(f^{-1}\bigr)'(y) = \frac{1}{f'(x)},
onde x=f^{-1}(y).

Resposta

  1. Derivada em x_0:
    f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.
    Interpretação geométrica: coeficiente angular da reta tangente em \bigl(x_0,f(x_0)\bigr).
  2. Diferencial de f:
    dy = f'(x)\,dx,
    aproximação linear de \Delta y=f(x+dx)-f(x).
  3. Regras de derivação:
    • Produto: (uv)'=u'\,v+u\,v'.
    • Quociente: \bigl(\tfrac{u}{v}\bigr)'=\tfrac{u'\,v - u\,v'}{v^2}.
    • Composição: (f\circ g)'(x)=f'(g(x))\,g'(x).
    • Inversa: \bigl(f^{-1}\bigr)'(y)=\tfrac{1}{f'(x)} com x=f^{-1}(y).

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