- Defina o conceito de derivada de uma função real. Apresente uma interpretação geométrica da derivada de uma função.
- Explique o que você entende por diferencial de uma função
.
- Relembre as regras de derivação para: o produto de duas funções; o quociente de duas funções; da composição de duas funções, da inversa de uma função.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Definir o conceito de derivada de uma função real e dar sua interpretação geométrica.
- Explicar o que é a diferencial de uma função
. - Relembrar as regras de derivação para produto, quociente, composição e função inversa.
Passo 2
A derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação instantânea dessa função naquele ponto. Formalmente, para
e um ponto
do domínio, dizemos que
desde que esse limite exista.
Passo 3
Geometricamente,
é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
no ponto
. Se
, a reta sobe (função cresce); se
, a reta desce (função decresce); se
, a reta é horizontal (possível ponto de máximo, mínimo ou inflexão).
Passo 4
A diferencial de
no ponto
é um modo de aproximar o incremento real
por uma parte linear. Definimos
onde
é um incremento arbitrário em
e
é a aproximação linear ao verdadeiro
.
Passo 5
Regra do produto: se
e
são deriváveis, então
Passo 6
Regra do quociente: se
e
são deriváveis e
, então
Passo 7
Regra da composição (cadeia): se
é derivável em
e
é derivável em
, então
Passo 8
Regra da função inversa: se
é derivável em
, inversível e
, então sua inversa
é derivável em
e
onde
.
Resposta
-
Derivada em
: Interpretação geométrica: coeficiente angular da reta tangente em. -
Diferencial de
: aproximação linear de. -
Regras de derivação:
- Produto:
. - Quociente:
. - Composição:
. - Inversa:
com .
- Produto: