Calcule as integrais indefinidas a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! O exercício pede para calcular:
integral(x^2 + 1 + xx^2 + 1) dx
Estamos trabalhando com Cálculo Integral, mais especificamente com integrais indefinidas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas regras básicas de integração, como a integração de polinômios e a substituição simples para frações.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em três partes para facilitar:
integral x^2 dx + integral 1 , dx + integral xx^2 + 1 dx
Cada uma dessas integrais será calculada individualmente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral:
integral x^2 dx
A regra para integrar $ x^n $ é:
x^n
Aplicando isso:
integral x^n dx = x^n+1n+1 + C

Passo 4

Agora, a segunda integral:
integral 1 , dx
A integral de uma constante $ k $ é:
k
Aqui, $ k = 1 $:
integral k , dx = kx + C

Passo 5

Vamos para a terceira integral mais complicada:
integral xx^2 + 1 dx
Aqui, podemos usar a substituição. Vamos definir:
u = x^2 + 1
Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
u
Substituindo na integral:
x
A integral de $ \frac{1}{u} $ é o logaritmo natural:
du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx

Passo 6

Agora, juntando todas as partes que calculamos:
x^33 + x + 12 ln(x^2 + 1) + C

Resposta

A integral indefinida é:
x^33 + x + 12 ln(x^2 + 1) + C

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