Calcule as integrais indefinidas a seguir, escrevendo todos os passos:
\int \frac{2}{x^{2}+4} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2}{x^{2}+4}\,dx.
Este é um caso clássico de função da forma \displaystyle \frac{1}{x^{2}+a^{2}}, cuja primitiva é dada por
\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\biggl(\frac{x}{a}\biggr) + C.

Passo 2

Extraímos a constante 2 do integrando:
\int \frac{2}{x^{2}+4}\,dx = 2 \int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx = 2 \int \frac{1}{x^{2} + (2)^{2}}\,dx.
Aqui a=2.

Passo 3

Aplicando a fórmula \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan(x/a)+C com a=2, temos
\int \frac{1}{x^{2}+2^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\arctan\!\biggl(\frac{x}{2}\biggr) + C.
Multiplicando por 2:
2 \cdot \frac{1}{2}\arctan\!\biggl(\frac{x}{2}\biggr) + C = \arctan\!\biggl(\frac{x}{2}\biggr) + C.

Resposta

\int \frac{2}{x^{2}+4}\,dx = \arctan\!\biggl(\frac{x}{2}\biggr) + C.

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