Decompor as seguintes expressões como somas de frações parciais:
\frac{5 x-4}{(x-2) \cdot(x+1)}

Passo 1

O enunciado pede para decompor a função racional
\frac{5x-4}{(x-2)(x+1)}
em frações parciais. Vamos usar o método que expressa essa fração como soma de termos da forma \tfrac{A}{x-2} e \tfrac{B}{x+1}.

Passo 2

Como o numerador tem grau 1 e o denominador tem grau 2, a fração é própria. Logo, presumimos que
\frac{5x-4}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-2)(x+1) para eliminar os denominadores:
5x - 4 = A(x+1) + B(x-2).

Passo 4

Expandindo o lado direito, obtemos
A(x+1) + B(x-2) = (A + B)\,x + (A - 2B).
Comparando coeficientes com 5x - 4, forma-se o sistema
\begin{cases} A + B = 5,\\\ A - 2B = -4. \end{cases}

Passo 5

De A + B = 5 segue A = 5 - B. Substituindo em A - 2B = -4:
(5 - B) - 2B = -4 \quad\Longrightarrow\quad -3B = -9 \quad\Longrightarrow\quad B = 3.
Em seguida,
A = 5 - B = 5 - 3 = 2.

Resposta

\frac{5x-4}{(x-2)(x+1)} = \frac{2}{x-2} + \frac{3}{x+1}.

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