A distribuição vertical da velocidade da água em um rio é dada por v(y)=\alpha(p-y) em um ponto de profundidade y, sendo p a profundidade total do rio e \alpha uma constal positiva.
(a) ( 0,5 ponto) Calcule a velocidade da água na superficie do rio.
(b) (0,5 ponto) Calcule a velocidade da água no fundo do rio.
(c) (1 ponto) Calcule \int v(y) d y.
(d) (1 ponto) Calcule a velocidade média v_{m}=\frac{1}{p} \int_{0}^{p} v(y) d y.

Passo 1

O enunciado define a distribuição de velocidade da água em função da profundidade y como
v(y)=\alpha\bigl(p-y\bigr),
onde y vai de 0 (superfície) até p (fundo), e \alpha>0. Precisamos calcular:
(a) a velocidade na superfície y=0,
(b) a velocidade no fundo y=p,
(c) a primitiva \displaystyle\int v(y)\,dy,
(d) a velocidade média
v_{m}=\frac{1}{p}\int_{0}^{p}v(y)\,dy.

Passo 2

Para (a), basta substituir y=0 em v(y):
v(0)=\alpha\bigl(p-0\bigr)=\alpha p.

Passo 3

Para (b), substituímos y=p em v(y):
v(p)=\alpha\bigl(p-p\bigr)=0.

Passo 4

Para (c), calculamos a primitiva de v(y)=\alpha(p-y):
\int v(y)\,dy =\int \alpha\,(p - y)\,dy =\alpha\int (p - y)\,dy =\alpha\Bigl(py-\tfrac{y^2}{2}\Bigr)+C.

Passo 5

Para (d), usamos
v_{m}=\frac{1}{p}\int_{0}^{p}v(y)\,dy =\frac{1}{p}\,\alpha\int_{0}^{p}(p-y)\,dy =\frac{\alpha}{p}\Bigl[p\,y-\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{0}^{p} =\frac{\alpha p}{2}.

Resposta

(a) \alpha p
(b) 0
(c) \alpha\bigl(py - \tfrac{y^2}{2}\bigr)+C
(d) \tfrac{\alpha p}{2}

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