Aqui usei a separação \dfrac{du+u\,dx}{u}=\dfrac{du}{u}+dx. Agora integramos cada termo:
\displaystyle \int \frac{du}{u}=\ln|u| + C_1 (logaritmo natural, lembre que a primitiva de 1/u é \ln|u|),
\displaystyle \int dx = x + C_2.
Assim a primitiva geral é
\frac{1}{2}\ln|u|+\frac{1}{2}x + C,
onde C é a constante de integração que combina C_1 e C_2.
Passo 6
Voltando à variável x (substituindo u=\sin x+\cos x), obtemos a primitiva desejada:
\frac{1}{2}\ln\big|\sin x+\cos x\big|+\frac{1}{2}x + C.
Para conferir rapidamente: derivando essa expressão obtém-se \dfrac{\cos x}{\sin x+\cos x}=\dfrac{1}{1+\operatorname{tg} x}, que é exatamente o integrando. Boa! Segura essa solução para a prova — é curta e elegante.