Calcule as integrais indefinidas a seguir.
\int \frac{d x}{1+\operatorname{tg} x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{1+\operatorname{tg} x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a integrar é x \mapsto \dfrac{1}{1+\operatorname{tg} x}.
  • Quer-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{1+\operatorname{tg} x}.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando seno e cosseno. Lembre que
\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}.
Substituindo na fração e multiplicando numerador e denominador por \cos x, obtemos
\frac{1}{1+\operatorname{tg} x}=\frac{1}{1+\dfrac{\sin x}{\cos x}}=\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}.
Portanto a integral fica
\int \frac{dx}{1+\operatorname{tg} x}=\int \frac{\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx.
Explicando rápido: multiplicar por \cos x é uma técnica simples para livrar-se da tangente e trabalhar com seno/cosseno.

Passo 3

Agora proponho a substituição
u=\sin x+\cos x.
Calculamos a diferencial du. Derivando u em relação a x,
du=(\cos x - \sin x)\,dx.
Guarde isso: du=(\cos x-\sin x)\,dx.

Passo 4

Precisamos expressar o numerador \cos x\,dx em termos de du e u para usar a substituição. Observe a identidade algébrica útil:
\cos x=\frac{(\cos x-\sin x)+(\cos x+\sin x)}{2}.
Multiplicando por dx,
\cos x\,dx=\frac{1}{2}\big[(\cos x-\sin x)\,dx+(\cos x+\sin x)\,dx\big].
Pela definição de u e do du acima, isto é
\cos x\,dx=\frac{1}{2}\big[du+u\,dx\big].
Essa decomposição é o truque: escrevemos \cos x\,dx como combinação de du e u\,dx.

Passo 5

Substituindo \cos x\,dx na integral original:
\int \frac{\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx=\int \frac{\frac{1}{2}\big[du+u\,dx\big]}{u} =\frac{1}{2}\int\frac{du}{u}+\frac{1}{2}\int dx.
Aqui usei a separação \dfrac{du+u\,dx}{u}=\dfrac{du}{u}+dx. Agora integramos cada termo:
  • \displaystyle \int \frac{du}{u}=\ln|u| + C_1 (logaritmo natural, lembre que a primitiva de 1/u é \ln|u|),
  • \displaystyle \int dx = x + C_2.
Assim a primitiva geral é
\frac{1}{2}\ln|u|+\frac{1}{2}x + C,
onde C é a constante de integração que combina C_1 e C_2.

Passo 6

Voltando à variável x (substituindo u=\sin x+\cos x), obtemos a primitiva desejada:
\frac{1}{2}\ln\big|\sin x+\cos x\big|+\frac{1}{2}x + C.
Para conferir rapidamente: derivando essa expressão obtém-se \dfrac{\cos x}{\sin x+\cos x}=\dfrac{1}{1+\operatorname{tg} x}, que é exatamente o integrando. Boa! Segura essa solução para a prova — é curta e elegante.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\big|\sin x+\cos x\big|+\frac{1}{2}x+C

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