Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a substituição de Weierstrass quando conveniente.
\int \frac{\cos x}{2+\operatorname{sen} x} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{\cos x}{2+\operatorname{sen} x}\,dx.
Dados: a função a integrar é \dfrac{\cos x}{2+\operatorname{sen} x}. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\cos x}{2+\operatorname{sen} x}. Vou usar a substituição de Weierstrass quando conveniente (conforme pedido), sem pular passos.

Passo 2

Apresentação e justificativa da substituição de Weierstrass. Definir
t=\tan\!\left(\frac{x}{2}\right).
As fórmulas padrão (que derivam da duplicação e das identidades trigonométricas) são:
\operatorname{sen} x=\frac{2t}{1+t^{2}},\qquad \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\qquad dx=\frac{2\,dt}{1+t^{2}}.
Explicando: aqui a variável t substitui a função trigonométrica; t é a nova variável de integração. Essas fórmulas transformam funções trigonométricas em funções racionais de t, o que facilita a integração.

Passo 3

Substituir \operatorname{sen} x,\cos x,dx por suas expressões em t. Primeiro a parte do numerador com dx:
\cos x\,dx=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\cdot\frac{2\,dt}{1+t^{2}}=\frac{2(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}\,dt.
Agora o denominador:
2+\operatorname{sen} x=2+\frac{2t}{1+t^{2}}=\frac{2(1+t^{2})+2t}{1+t^{2}}=\frac{2(t^{2}+t+1)}{1+t^{2}}.

Passo 4

Formar o integrando em t dividindo numerador por denominador:
\frac{\cos x}{2+\operatorname{sen} x}\,dx = \frac{\dfrac{2(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}}{\dfrac{2(t^{2}+t+1)}{1+t^{2}}}\,dt = \frac{1-t^{2}}{(1+t^{2})(t^{2}+t+1)}\,dt.
Portanto a integral vira a integral racional
\int \frac{1-t^{2}}{(1+t^{2})(t^{2}+t+1)}\,dt.

Passo 5

Vamos decompor em frações parciais. Como o numerador tem grau menor que o denominador, propomos
\frac{1-t^{2}}{(1+t^{2})(t^{2}+t+1)}=\frac{A t+B}{1+t^{2}}+\frac{C t+D}{t^{2}+t+1},
onde A,B,C,D\) são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por \((1+t^{2})(t^{2}+t+1)\) obtemos \[1-t^{2}=(A t+B)(t^{2}+t+1)+(C t+D)(1+t^{2}).
Expandindo e somando termos:
1-t^{2}=(A+C)t^{3}+(A+B+D)t^{2}+(A+B+C)t+(B+D).
Comparando coeficientes com 1-t^{2}=0\cdot t^{3}+(-1)\cdot t^{2}+0\cdot t+1, obtemos o sistema
\begin{cases} A+C=0,\\[4pt] A+B+D=-1,\\[4pt] A+B+C=0,\\[4pt] B+D=1. \end{cases}
Da terceira equação A+B+C=0\] e da primeira \(C=-A segue B=0. Então da quarta equação D=1. Substitindo em A+B+D=-1 A+0+1=-1\Rightarrow A=-2. Logo C=-A=2.
Assim
A=-2,\quad B=0,\quad C=2,\quad D=1.
Portanto a decomposição é
\frac{1-t^{2}}{(1+t^{2})(t^{2}+t+1)}=\frac{-2t}{1+t^{2}}+\frac{2t+1}{t^{2}+t+1}.]

Passo 6

Integramos termo a termo:
\int \frac{1-t^{2}}{(1+t^{2})(t^{2}+t+1)}\,dt = \int\left(-\frac{2t}{1+t^{2}}+\frac{2t+1}{t^{2}+t+1}\right)dt.
Primeiro termo: usar que \dfrac{d}{dt}(1+t^{2})=2t, então
\int -\frac{2t}{1+t^{2}}\,dt=-\ln(1+t^{2}).
Segundo termo: usar substituição direta u=t^{2}+t+1, pois \dfrac{du}{dt}=2t+1. Logo
\int \frac{2t+1}{t^{2}+t+1}\,dt=\ln(t^{2}+t+1).
Somando,
\int \frac{1-t^{2}}{(1+t^{2})(t^{2}+t+1)}\,dt=-\ln(1+t^{2})+\ln(t^{2}+t+1)+C.
Combinar logs:
=\ln\!\left(\frac{t^{2}+t+1}{1+t^{2}}\right)+C.

Passo 7

Voltar à variável x com t=\tan\!\left(\dfrac{x}{2}\right). Seja u=\dfrac{x}{2}, então t=\tan u. Calcular a razão:
\frac{t^{2}+t+1}{1+t^{2}}=\frac{\tan^{2}u+\tan u+1}{1+\tan^{2}u}.
Usando 1+\tan^{2}u=\operatorname{sec}^{2}u e \tan u=\dfrac{\operatorname{sen} u}{\cos u}, obtemos
t^{2}+t+1=\frac{\operatorname{sen}^{2}u+\operatorname{sen} u\cos u+\cos^{2}u}{\cos^{2}u}=\frac{1+\operatorname{sen} u\cos u}{\cos^{2}u},
e
1+t^{2}=\frac{1}{\cos^{2}u}.
Assim a razão simplifica para
\frac{t^{2}+t+1}{1+t^{2}}=1+\operatorname{sen} u\cos u.
Como \operatorname{sen} u\cos u=\dfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2u) e 2u=x, segue \operatorname{sen} u\cos u=\dfrac{1}{2}\operatorname{sen} x. Logo
1+\operatorname{sen} u\cos u=1+\frac{\operatorname{sen} x}{2}=\frac{2+\operatorname{sen} x}{2}.
Portanto
\ln\!\left(\frac{t^{2}+t+1}{1+t^{2}}\right)=\ln\!\left(\frac{2+\operatorname{sen} x}{2}\right)=\ln(2+\operatorname{sen} x)-\ln 2.
O termo -\ln 2 é constante, então pode ser absorvido na constante de integração. Assim uma primitiva conveniente é
\ln(2+\operatorname{sen} x)+C.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas reconfortante): derivando \ln(2+\operatorname{sen} x) obtemos
\frac{d}{dx}\ln(2+\operatorname{sen} x)=\frac{\cos x}{2+\operatorname{sen} x},
que é exatamente o integrando. Tudo confere.

Resposta

\ln(2+\operatorname{sen} x)+C

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