Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a substituição de Weierstrass quando conveniente. \int \frac{\cos x}{2+\operatorname{sen} x} d x
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{\cos x}{2+\operatorname{sen} x}\,dx.
Dados: a função a integrar é \dfrac{\cos x}{2+\operatorname{sen} x}. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\cos x}{2+\operatorname{sen} x}. Vou usar a substituição de Weierstrass quando conveniente (conforme pedido), sem pular passos.
Passo 2
Apresentação e justificativa da substituição de Weierstrass. Definir
t=\tan\!\left(\frac{x}{2}\right).
As fórmulas padrão (que derivam da duplicação e das identidades trigonométricas) são:
Explicando: aqui a variável t substitui a função trigonométrica; t é a nova variável de integração. Essas fórmulas transformam funções trigonométricas em funções racionais de t, o que facilita a integração.
Passo 3
Substituir \operatorname{sen} x,\cos x,dx por suas expressões em t. Primeiro a parte do numerador com dx:
onde A,B,C,D\) são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por \((1+t^{2})(t^{2}+t+1)\) obtemos
\[1-t^{2}=(A t+B)(t^{2}+t+1)+(C t+D)(1+t^{2}).
Expandindo e somando termos:
1-t^{2}=(A+C)t^{3}+(A+B+D)t^{2}+(A+B+C)t+(B+D).
Comparando coeficientes com 1-t^{2}=0\cdot t^{3}+(-1)\cdot t^{2}+0\cdot t+1, obtemos o sistema
Da terceira equação A+B+C=0\] e da primeira \(C=-A segue B=0. Então da quarta equação D=1. Substitindo em A+B+D=-1 dá A+0+1=-1\Rightarrow A=-2. Logo C=-A=2.