Calcule as integrais indefinidas a seguir:
\int \frac{3 x+1}{x^{2}-2 x-3} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{3x+1}{x^{2}-2x-3}\,dx
O conteúdo envolvido é integração de função racional usando decomposição em frações parciais. Para isso, vamos fatorar o denominador e expressar o integrando como soma de termos simples.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^{2}-2x-3 = (x-3)(x+1).

Passo 3

Assumimos a decomposição em frações parciais:
\frac{3x+1}{x^{2}-2x-3} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+1), obtemos
3x+1 = A(x+1) + B(x-3).

Passo 4

Expandindo e comparando coeficientes em x:
A + B = 3, \quad A - 3B = 1.
Resolvendo esse sistema, vem
B = \tfrac12, \quad A = 3 - B = \tfrac52.

Passo 5

Substituindo A e B e integrando termo a termo:
\int \frac{3x+1}{x^{2}-2x-3}\,dx = \frac{5}{2}\int \frac{dx}{x-3} + \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1} = \frac{5}{2}\ln\bigl|x-3\bigr| + \frac{1}{2}\ln\bigl|x+1\bigr| + C.

Resposta

\frac{5}{2}\ln\bigl|x-3\bigr| + \frac{1}{2}\ln\bigl|x+1\bigr| + C

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