Sejam u, v \in \mathbb{R}^{3} com u=(1,0,2) e v=(0,1,-2). Considere o produto interno usual, a distância e a norma providas do produto interno usual. Calcule:
(b) d(u, v)-\langle u, v\rangle.

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(1,0,2) e v=(0,1,-2) em \mathbb{R}^3 com o produto interno usual. Queremos calcular
d(u,v)-\langle u,v\rangle,
onde \langle x,y\rangle é o produto interno usual e d(x,y)=\|x-y\| com \|z\|=\sqrt{\langle z,z\rangle}.

Passo 2

Vamos primeiro achar o produto interno \langle u,v\rangle. Pela definição,
\langle u,v\rangle =1\cdot0 + 0\cdot1 + 2\cdot(-2) = -4.

Passo 3

Agora calculamos a distância d(u,v)=\|u-v\|. Primeiro u-v=(1,0,2)-(0,1,-2)=(1,-1,4). Em seguida,
\|u-v\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.

Passo 4

Finalmente,
d(u,v)-\langle u,v\rangle =3\sqrt{2} - (-4) =3\sqrt{2} + 4.

Resposta

3\sqrt{2} + 4

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