Calcule as integrais indefinidas a seguir.
\int x^{5} \cos \left(x^{6}\right) d x;

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida \int x^{5}\cos\bigl(x^{6}\bigr)\,dx. O conteúdo aqui é o método de substituição, que serve para integrar funções compostas.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{6}.
Diferenciando, obtemos
du = 6x^{5}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{5}\,dx = \frac{du}{6}.

Passo 3

Substituindo em \int x^{5}\cos\bigl(x^{6}\bigr)\,dx, temos
\int x^{5}\cos\bigl(x^{6}\bigr)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{du}{6} = \frac{1}{6}\int \cos(u)\,du.

Passo 4

A integral de \cos(u) é \sin(u). Logo,
\frac{1}{6}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{6}\sin(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = x^{6} na expressão anterior:
\int x^{5}\cos\bigl(x^{6}\bigr)\,dx = \frac{1}{6}\sin\bigl(x^{6}\bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}\sin\bigl(x^{6}\bigr) + C

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