Calcule as integrais indefinidas a seguir.
\sqrt{1-9 x^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt{1 - 9x^{2}}\;dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição trigonométrica para expressões do tipo \sqrt{a^{2} - u^{2}}. Vamos usar a identidade trigonométrica adequada e depois voltar à variável x.

Passo 2

Fazemos a substituição
3x = \sin\theta,
logo
x = \frac{1}{3}\sin\theta \quad\text{e}\quad dx = \frac{1}{3}\cos\theta\,d\theta.
Também teremos
\sqrt{1 - 9x^{2}} = \sqrt{1 - \sin^{2}\theta} = \cos\theta \quad(\cos\theta\ge0).

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int \sqrt{1 - 9x^{2}}\;dx = \int \cos\theta \,\Bigl(\frac{1}{3}\cos\theta\,d\theta\Bigr) = \frac{1}{3}\int \cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Usamos a identidade
\cos^{2}\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}
para reescrever
\frac{1}{3}\int \cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{3}\int \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{6}\int \bigl(1 + \cos(2\theta)\bigr)\,d\theta.
Integrando,
\frac{1}{6}\Bigl(\theta + \frac{\sin(2\theta)}{2}\Bigr) + C = \frac{1}{6}\theta + \frac{1}{12}\sin(2\theta) + C.
Como \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, fica
\frac{1}{6}\theta + \frac{1}{12}\cdot2\sin\theta\cos\theta + C = \frac{1}{6}\theta + \frac{1}{6}\sin\theta\cos\theta + C.

Passo 5

Voltando a x:
\theta = \arcsin(3x), \quad \sin\theta = 3x, \quad \cos\theta = \sqrt{1 - 9x^{2}}.
Substituindo, a primitiva é
\frac{1}{6}\arcsin(3x) + \frac{1}{6}\bigl(3x\sqrt{1 - 9x^{2}}\bigr) + C = \frac{1}{6}\arcsin(3x) + \frac{x}{2}\sqrt{1 - 9x^{2}} + C.

Resposta

\int \sqrt{1 - 9x^{2}}\;dx = \frac{1}{6}\arcsin(3x) + \frac{x}{2}\sqrt{1 - 9x^{2}} + C.

Exercícios relacionados