Esboce a região descrita e cálcule sua área.
R é a região delimitada pelo gráfico de f(x)=x^{2}-x, e as retas x=0 e x=2;

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pelo gráfico de
f(x)=x^{2}-x
pelas retas verticais x=0 e x=2 e pelo eixo x (ou seja, y=0).
Para calcular essa área, vamos:
  1. Determinar onde f(x) cruza o eixo x e o sinal de f(x).
  2. Escrever a área como soma de integrais da função em valor absoluto.
  3. Calcular essas integrais.

Passo 2

Primeiro achamos as interseções de f(x) com o eixo x:
x^{2}-x=0 \quad\Longrightarrow\quad x(x-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\text{ ou }x=1.
Logo, para 0<x<1, temos f(x)<0 (parábola abaixo do eixo), e para 1<x<2, f(x)>0.

Passo 3

A área total é dada pela soma das áreas abaixo do eixo (tomando o positivo do valor absoluto) de x=0 a x=1 e acima do eixo de x=1 a x=2:
\text{Área} = \int_{0}^{1} -\bigl(x^{2}-x\bigr)\,dx + \int_{1}^{2} \bigl(x^{2}-x\bigr)\,dx.Á

Passo 4

Calculamos cada integral separadamente:
Para 0\le x\le1:
\int_{0}^{1} \bigl(x - x^{2}\bigr)\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}-\frac{1}{3} = \frac{1}{6}.
Para 1\le x\le2:
\int_{1}^{2} \bigl(x^{2}-x\bigr)\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2} = \Bigl(\frac{8}{3}-2\Bigr)-\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\Bigr) = \frac{2}{3}-\bigl(-\tfrac{1}{6}\bigr) = \frac{2}{3}+\frac{1}{6} = \frac{5}{6}.

Passo 5

Somando as duas contribuições temos
\text{Área total} = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 1.Á

Resposta

A área da região R vale 1.

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