Calcule as integrais indefinidas a seguir.
$ \int_{0}^{1} \frac{1}{4 t+1} d t$

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral definida de 0 a 1 de 14t+1 em relação a t. O conteúdo da matéria é a integração de funções do tipo 1at+b, que geralmente se resolve com substituição simples usando a regra de que integral 1u,du = ln|u| + C.

Passo 2

Para facilitar, fazemos a substituição u = 4t + 1. Isso implica que du = 4,dt, ou seja, dt = du4.

Passo 3

Precisamos também trocar os limites de integração: quando t = 0, u = 4cdot0 + 1 = 1; quando t = 1, u = 4cdot1 + 1 = 5. A integral fica
integral0^1 14t+1,dt = integral1^5 1u cdot 14,du = 14 integral1^5 1u,du

Passo 4

Agora basta integrar: temos
14 integral1^5 1u,du = 14 [ln|u|]1^5 = 14 (ln 5 - ln 1) = 14 ln 5

Resposta

14ln 5

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