Calcule as integrais indefinidas a seguir usando substituição trigonométrica.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
A pergunta é simplesmente encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método que vamos usar):
Quando aparece uma raiz do tipo é comum usar a substituição trigonométrica
Quando aparece uma raiz do tipo
porque daí
o que simplifica muito a raiz. Aqui temos
, então escolhemos
Observação sobre sinais: com
tipicamente assumimos
(ou escolhemos o ramo da função secante adequado) para evitar problemas com o valor absoluto em
; na prática a primitiva que obtivermos vale no intervalo onde a substituição é legítima e a constante de integração cobre diferenças de ramo.
Passo 3
Calculemos as quantidades necessárias para substituir:
A raiz fica
Assumindo o ramo em que
(caso usual para
), podemos usar
.
Também
Agora substituímos tudo na integral:
Multiplicando constantes e fatores trigonométricos:
e as potências ficam
e
. Logo
Passo 4
Simplificamos usando a identidade trigonométrica
Assim
Portanto
Passo 5
Para integrar potências pares de
é conveniente escrever em termos de
e usar
, pois
.
Primeiro, escrevemos
e
Com
e
temos
E
Voltando para a combinação:
Cancelam os termos
, e obtemos
Lembrando
, temos em
:
Passo 6
Agora voltamos a
. Sabemos de antes que
Assim
(considerando o ramo positivo conforme a escolha anterior). Então
Substituindo em
:
Simplificando os coeficientes:
Portanto
Passo 7
Podemos também escrever a primitiva em forma compacta fatorando
:
o que é uma forma única e elegante da primitiva.
Resposta
ou equivalentemente