Calcule as integrais indefinidas a seguir usando substituição trigonométrica.
\int x^{3} \sqrt{x^{2}-16} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{3}\sqrt{x^{2}-16}\,dx.
Informações dadas:
\text{Integrando: } x^{3}\sqrt{x^{2}-16}.
A pergunta é simplesmente encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método que vamos usar):
Quando aparece uma raiz do tipo \sqrt{x^{2}-a^{2}} é comum usar a substituição trigonométrica
x = a\operatorname{sec}\theta,
porque daí
\sqrt{x^{2}-a^{2}}=a\tan\theta,
o que simplifica muito a raiz. Aqui temos a=4, então escolhemos
x=4\operatorname{sec}\theta.
Observação sobre sinais: com x=4\operatorname{sec}\theta tipicamente assumimos x\ge 4 (ou escolhemos o ramo da função secante adequado) para evitar problemas com o valor absoluto em \sqrt{\tan^{2}\theta}; na prática a primitiva que obtivermos vale no intervalo onde a substituição é legítima e a constante de integração cobre diferenças de ramo.

Passo 3

Calculemos as quantidades necessárias para substituir:
x=4\operatorname{sec}\theta \quad\Rightarrow\quad dx=4\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
A raiz fica
\sqrt{x^{2}-16}=\sqrt{16\operatorname{sec}^{2}\theta-16}=\sqrt{16(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)}=4|\tan\theta|.
Assumindo o ramo em que \tan\theta\ge 0 (caso usual para x\ge 4), podemos usar \sqrt{x^{2}-16}=4\tan\theta.
Também
x^{3}=(4\operatorname{sec}\theta)^{3}=64\operatorname{sec}^{3}\theta.
Agora substituímos tudo na integral:
\int x^{3}\sqrt{x^{2}-16}\,dx = \int \big(64\operatorname{sec}^{3}\theta\big)\big(4\tan\theta\big)\big(4\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta\big).
Multiplicando constantes e fatores trigonométricos:
64\cdot 4\cdot 4 = 1024,
e as potências ficam \operatorname{sec}^{3}\theta\cdot\operatorname{sec}\theta=\operatorname{sec}^{4}\theta e \tan\theta\cdot\tan\theta=\tan^{2}\theta. Logo
\int x^{3}\sqrt{x^{2}-16}\,dx = \int 1024\,\operatorname{sec}^{4}\theta\,\tan^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Simplificamos usando a identidade trigonométrica
\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1.
Assim
\operatorname{sec}^{4}\theta\,\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{4}\theta(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)=\operatorname{sec}^{6}\theta-\operatorname{sec}^{4}\theta.
Portanto
\int 1024\,\operatorname{sec}^{4}\theta\,\tan^{2}\theta\,d\theta = 1024\int (\operatorname{sec}^{6}\theta-\operatorname{sec}^{4}\theta)\,d\theta.

Passo 5

Para integrar potências pares de \operatorname{sec}\theta é conveniente escrever em termos de \tan\theta e usar u=\tan\theta, pois du=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Primeiro, escrevemos
\operatorname{sec}^{6}\theta = \operatorname{sec}^{4}\theta\operatorname{sec}^{2}\theta = (1+\tan^{2}\theta)^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta,
e
\operatorname{sec}^{4}\theta = (1+\tan^{2}\theta)\operatorname{sec}^{2}\theta.
Com u=\tan\theta e du=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta temos
\int \operatorname{sec}^{6}\theta\,d\theta = \int (1+u^{2})^{2}\,du = \int (1+2u^{2}+u^{4})\,du = u + \frac{2}{3}u^{3} + \frac{1}{5}u^{5} + C.
E
\int \operatorname{sec}^{4}\theta\,d\theta = \int (1+u^{2})\,du = u + \frac{1}{3}u^{3} + C.
Voltando para a combinação:
1024\int (\operatorname{sec}^{6}\theta-\operatorname{sec}^{4}\theta)\,d\theta =1024\Big[\big(u + \tfrac{2}{3}u^{3} + \tfrac{1}{5}u^{5}\big) - \big(u + \tfrac{1}{3}u^{3}\big)\Big]+C.
Cancelam os termos u, e obtemos
1024\Big(\tfrac{1}{3}u^{3} + \tfrac{1}{5}u^{5}\Big)+C = \frac{1024}{3}u^{3} + \frac{1024}{5}u^{5} + C.
Lembrando u=\tan\theta, temos em \theta:
F(\theta)=\frac{1024}{3}\tan^{3}\theta + \frac{1024}{5}\tan^{5}\theta + C.

Passo 6

Agora voltamos a x. Sabemos de antes que
\operatorname{sec}\theta=\frac{x}{4}\quad\Rightarrow\quad \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1=\frac{x^{2}}{16}-1=\frac{x^{2}-16}{16}.
Assim
\tan\theta=\frac{\sqrt{x^{2}-16}}{4}
(considerando o ramo positivo conforme a escolha anterior). Então
\tan^{3}\theta=\frac{(x^{2}-16)^{3/2}}{4^{3}}=\frac{(x^{2}-16)^{3/2}}{64},
\tan^{5}\theta=\frac{(x^{2}-16)^{5/2}}{4^{5}}=\frac{(x^{2}-16)^{5/2}}{1024}.
Substituindo em F(\theta):
F(x)=\frac{1024}{3}\cdot\frac{(x^{2}-16)^{3/2}}{64} + \frac{1024}{5}\cdot\frac{(x^{2}-16)^{5/2}}{1024} + C.
Simplificando os coeficientes:
\frac{1024}{3}\cdot\frac{1}{64}=\frac{16}{3},\qquad \frac{1024}{5}\cdot\frac{1}{1024}=\frac{1}{5}.
Portanto
F(x)=\frac{16}{3}(x^{2}-16)^{3/2} + \frac{1}{5}(x^{2}-16)^{5/2} + C.

Passo 7

Podemos também escrever a primitiva em forma compacta fatorando (x^{2}-16)^{3/2}:
F(x)=(x^{2}-16)^{3/2}\!\left(\frac{16}{3}+\frac{1}{5}(x^{2}-16)\right)+C =(x^{2}-16)^{3/2}\frac{3x^{2}+32}{15}+C,
o que é uma forma única e elegante da primitiva.

Resposta

\frac{16}{3}(x^{2}-16)^{3/2}+\frac{1}{5}(x^{2}-16)^{5/2}+C
ou equivalentemente
\frac{3x^{2}+32}{15}(x^{2}-16)^{3/2}+C.

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