Determine se cada integral é convergente ou divergente. Caso seja convergente, calcule o seu valor.
\int_{1}^{e} \frac{1}{x(\ln (x))^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o seu valor. A integral dada é
\int_{1}^{e}\frac{1}{x(\ln(x))^{2}}\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O intervalo de integração é [1,e].
  • A função integranda é \dfrac{1}{x(\ln(x))^{2}}.
  • Observação importante: \ln(1)=0, portanto a integranda não está definida em x=1. Isso indica que a integral é imprópria por causa do ponto x=1 (singularidade no limite inferior).

Passo 2

Como há uma singularidade em x=1, devemos tratar a integral como uma integral imprópria e defini‑la por limite. Escrevemos
\int_{1}^{e}\frac{1}{x(\ln(x))^{2}}\,dx=\lim_{a\to 1^{+}}\int_{a}^{e}\frac{1}{x(\ln(x))^{2}}\,dx.
Explicação do porquê: tomamos um a>1 para evitar a singularidade e depois fazemos a aproximar de 1 pela direita para ver se o valor limite existe (finito) ou diverge.

Passo 3

Para calcular a integral dentro do limite, fazemos a substituição natural que simplifica a presença de \ln(x). Defina
u=\ln(x).
Então
du=\frac{1}{x}\,dx\quad\Longrightarrow\quad dx=\;x\,du,
mas na prática usamos du=\frac{1}{x}dx, assim \frac{1}{x}dx=du. Mudança dos limites: quando x=a temos u=\ln(a), e quando x=e temos u=\ln(e)=1. Usando essa substituição a integral interior fica
\int_{a}^{e}\frac{1}{x(\ln(x))^{2}}\,dx=\int_{\ln(a)}^{1}\frac{1}{u^{2}}\,du.
Como a\to1^{+}, temos \ln(a)\to0^{+}. Portanto a integral imprópria é equivalente a
\lim_{a\to1^{+}}\int_{\ln(a)}^{1}\frac{1}{u^{2}}\,du=\lim_{b\to0^{+}}\int_{b}^{1}u^{-2}\,du,
onde eu substituí b=\ln(a) para deixar explícita a singularidade em u=0.

Passo 4

Agora calculamos a integral de u^{-2} entre b e 1 (com b>0):
a primitiva de u^{-2} é
\int u^{-2}\,du=-u^{-1}+C=-\frac{1}{u}+C,
porque ao derivar -u^{-1} obtemos u^{-2}. Avaliando entre b e 1 obtemos
\int_{b}^{1}u^{-2}\,du=\left[-\frac{1}{u}\right]_{b}^{1}=-\frac{1}{1} -\left(-\frac{1}{b}\right)=-1+\frac{1}{b}.

Passo 5

Agora tomamos o limite b\to0^{+}:
\lim_{b\to0^{+}}\left(-1+\frac{1}{b}\right)=+\infty,
porque \dfrac{1}{b} cresce sem limite quando b vai para 0^{+}. Conclusão: o limite que define a integral imprópria não é finito; a integral diverge e, mais precisamente, diverge para +\infty.

Passo 6

Intuição rápida (útil na prova): perto de x=1 temos \ln(x)\approx x-1. Assim para x próximo de 1,
\frac{1}{x(\ln(x))^{2}}\approx \frac{1}{1\cdot (x-1)^{2}} = (x-1)^{-2},
e sabemos que \int_{1}^{1+\epsilon}(x-1)^{-2}dx diverge. Essa comparação rápida confirma a divergência observada pelo cálculo rigoroso.

Resposta

Divergente (tende a +\infty).

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