Determine se cada integral é convergente ou divergente. Caso seja convergente, calcule o seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o seu valor. A integral dada é
Informações relevantes que o enunciado dá:
- O intervalo de integração é
. - A função integranda é
. - Observação importante:
, portanto a integranda não está definida em . Isso indica que a integral é imprópria por causa do ponto (singularidade no limite inferior).
Passo 2
Como há uma singularidade em
, devemos tratar a integral como uma integral imprópria e defini‑la por limite. Escrevemos
Explicação do porquê: tomamos um
para evitar a singularidade e depois fazemos
aproximar de
pela direita para ver se o valor limite existe (finito) ou diverge.
Passo 3
Para calcular a integral dentro do limite, fazemos a substituição natural que simplifica a presença de
. Defina
Então
mas na prática usamos
, assim
. Mudança dos limites: quando
temos
, e quando
temos
. Usando essa substituição a integral interior fica
Como
, temos
. Portanto a integral imprópria é equivalente a
onde eu substituí
para deixar explícita a singularidade em
.
Passo 4
Agora calculamos a integral de
entre
e
(com
):
a primitiva de é
a primitiva de
porque ao derivar
obtemos
. Avaliando entre
e
obtemos
Passo 5
Agora tomamos o limite
:
porque
cresce sem limite quando
vai para
. Conclusão: o limite que define a integral imprópria não é finito; a integral diverge e, mais precisamente, diverge para
.
Passo 6
Intuição rápida (útil na prova): perto de
temos
. Assim para
próximo de
,
e sabemos que
diverge. Essa comparação rápida confirma a divergência observada pelo cálculo rigoroso.
Resposta
Divergente (tende a
).