Resolva as integrais indefinidas a seguir por frações parciais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O integrando é uma função racional: numerador
e denominador . - O numerador tem grau
; e o denominador tem grau . Portanto a fração é imprópria (grau do numerador maior ou igual ao do denominador). - Não há outras informações externas (como valores numéricos a avaliar); queremos uma primitiva genérica (com constante de integração).
Passo 2
Primeiro passo prático: transformar a fração imprópria em uma soma de um polinômio com uma fração própria (grau do numerador menor que o do denominador). Isso se faz por divisão polinomial. Vou explicar como fazer a divisão longo passo a passo.
Regra da divisão polinomial (resumida): dividimos o termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador para obter o primeiro termo do quociente; multiplicamos o denominador por esse termo, subtraímos do numerador e repetimos com o resto.
Aplicando à nossa divisão:
Dividindo por
:
Dividindo
-
. Multiplico o divisor por :
Subtraindo do numerador:
Trago os termos seguintes
, ficando o resto provisório
.
- Agora
. Multiplico o divisor por :
Subtraindo do resto:
Este é o resto final, de grau
(menor que
), então a divisão termina.
Conclusão da divisão:
Passo 3
Agora escrevemos a integral como soma da integral do polinômio e da integral da fração própria:
Vou explicar: integrar um polinômio é direto (regra das potências). A parte difícil é a integral da fração própria, que vamos tratar por frações parciais.
Passo 4
Preparação para frações parciais: fatoramos o denominador quadrático.
Calcule
Calcule
pois [-3\cdot 1 = -3) e
. (Explicação rápida: para fatorar
procuramos dois números que multiplicam para
e somam para
.)
Como o denominador se fatorou em fatores lineares distintos, a decomposição em frações parciais tem a forma
onde
e
são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade:
Agora usamos igualdade de polinômios: os coeficientes de
e os termos constantes devem coincidir.
Expansão do lado direito:
Comparando coeficientes com
, temos o sistema linear
Resolvendo: subtraindo a segunda equação da primeira (ou por qualquer método):
A partir de :
A partir de :
Então
.
Portanto
Passo 5
Reescrevendo a integral completa com a decomposição obtida:
Agora aplicamos regras básicas de integração:
- Regra da potência:
para . Aqui . - Integração de constante:
. - A primitiva de
é . Mais precisamente, porque a derivada de é .
Usando essas regras:
Somando tudo e incluindo a constante de integração
:
Se quiser, dá para juntar os logaritmos:
, mas isso é apenas reescrita, não mudança do resultado.