Resolva as integrais indefinidas a seguir por frações parciais.
\int \frac{x^{4}-2 x^{3}-2 x^{2}+2 x-7}{x^{2}-2 x-3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{4}-2 x^{3}-2 x^{2}+2 x-7}{x^{2}-2 x-3}\,dx.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O integrando é uma função racional: numerador x^{4}-2 x^{3}-2 x^{2}+2 x-7 e denominador x^{2}-2 x-3.
  • O numerador tem grau \,4; e o denominador tem grau \,2. Portanto a fração é imprópria (grau do numerador maior ou igual ao do denominador).
  • Não há outras informações externas (como valores numéricos a avaliar); queremos uma primitiva genérica (com constante de integração).

Passo 2

Primeiro passo prático: transformar a fração imprópria em uma soma de um polinômio com uma fração própria (grau do numerador menor que o do denominador). Isso se faz por divisão polinomial. Vou explicar como fazer a divisão longo passo a passo.
Regra da divisão polinomial (resumida): dividimos o termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador para obter o primeiro termo do quociente; multiplicamos o denominador por esse termo, subtraímos do numerador e repetimos com o resto.
Aplicando à nossa divisão:
Dividindo \,x^{4}-2x^{3}-2x^{2}+2x-7 por \,x^{2}-2x-3:
  1. \dfrac{x^{4}}{x^{2}} = x^{2}. Multiplico o divisor por x^{2}:
x^{2}\cdot(x^{2}-2x-3)=x^{4}-2x^{3}-3x^{2}.
Subtraindo do numerador:
(x^{4}-2x^{3}-2x^{2})-(x^{4}-2x^{3}-3x^{2})=x^{2}.
Trago os termos seguintes +2x-7, ficando o resto provisório x^{2}+2x-7.
  1. Agora \dfrac{x^{2}}{x^{2}}=1. Multiplico o divisor por 1:
1\cdot(x^{2}-2x-3)=x^{2}-2x-3.
Subtraindo do resto:
(x^{2}+2x-7)-(x^{2}-2x-3)=4x-4.
Este é o resto final, de grau 1 (menor que 2), então a divisão termina.
Conclusão da divisão:
\frac{x^{4}-2x^{3}-2x^{2}+2x-7}{x^{2}-2x-3}=x^{2}+1+\frac{4x-4}{x^{2}-2x-3}.

Passo 3

Agora escrevemos a integral como soma da integral do polinômio e da integral da fração própria:
\int \frac{x^{4}-2 x^{3}-2 x^{2}+2 x-7}{x^{2}-2 x-3}\,dx = \int (x^{2}+1)\,dx + \int \frac{4x-4}{x^{2}-2x-3}\,dx.
Vou explicar: integrar um polinômio é direto (regra das potências). A parte difícil é a integral da fração própria, que vamos tratar por frações parciais.

Passo 4

Preparação para frações parciais: fatoramos o denominador quadrático.
Calcule
x^{2}-2x-3 = (x-3)(x+1),
pois [-3\cdot 1 = -3) e -3+1 = -2. (Explicação rápida: para fatorar x^{2}+bx+c procuramos dois números que multiplicam para c e somam para b.)
Como o denominador se fatorou em fatores lineares distintos, a decomposição em frações parciais tem a forma
\frac{4x-4}{(x-3)(x+1)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+1},
onde A e B são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+1) obtemos a identidade:
4x-4 = A(x+1)+B(x-3).
Agora usamos igualdade de polinômios: os coeficientes de x e os termos constantes devem coincidir.
Expansão do lado direito:
A(x+1)+B(x-3) = (A+B)x + (A-3B).
Comparando coeficientes com 4x-4, temos o sistema linear
\begin{cases} A+B = 4,\\[4pt] A-3B = -4. \end{cases}
Resolvendo: subtraindo a segunda equação da primeira (ou por qualquer método):
A partir de A = 4-B\], substituindo em \(A-3B=-4:
(4-B)-3B=-4 \Rightarrow 4-4B=-4 \Rightarrow -4B=-8 \Rightarrow B=2.
Então A=4-B=2.
Portanto
\frac{4x-4}{(x-3)(x+1)}=\frac{2}{x-3}+\frac{2}{x+1}.]

Passo 5

Reescrevendo a integral completa com a decomposição obtida:
\int \frac{x^{4}-2 x^{3}-2 x^{2}+2 x-7}{x^{2}-2 x-3}\,dx = \int (x^{2}+1)\,dx + \int \left(\frac{2}{x-3}+\frac{2}{x+1}\right)\,dx.
Agora aplicamos regras básicas de integração:
  • Regra da potência: \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Aqui \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}.
  • Integração de constante: \displaystyle \int 1\,dx = x.
  • A primitiva de \dfrac{1}{x-a} é \ln|x-a|. Mais precisamente, \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C porque a derivada de \ln|x-a| é \dfrac{1}{x-a}.
Usando essas regras:
\int (x^{2}+1)\,dx = \frac{x^{3}}{3}+x.
\int \frac{2}{x-3}\,dx = 2\ln|x-3|.
\int \frac{2}{x+1}\,dx = 2\ln|x+1|.
Somando tudo e incluindo a constante de integração C:
\int \frac{x^{4}-2 x^{3}-2 x^{2}+2 x-7}{x^{2}-2 x-3}\,dx = \frac{x^{3}}{3}+x+2\ln|x-3|+2\ln|x+1|+C.
Se quiser, dá para juntar os logaritmos: 2\ln|x-3|+2\ln|x+1|=2\ln\big| (x-3)(x+1)\big|, mas isso é apenas reescrita, não mudança do resultado.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}}{3}+x+2\ln|x-3|+2\ln|x+1|+C

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