Resolva as integrais indefinidas a seguir por frações parciais.
\int \frac{2 x^{4}-3 x^{3}-33 x^{2}-10 x-8}{x^{2}-2 x-15} d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
\int \frac{2 x^{4}-3 x^{3}-33 x^{2}-10 x-8}{x^{2}-2 x-15}\,dx.
Informações dadas e observações extraídas do enunciado:
  • O numerador é o polinômio 2x^{4}-3x^{3}-33x^{2}-10x-8.
  • O denominador é o polinômio x^{2}-2x-15.
  • A integral é indefinida (vamos obter uma primitiva mais constante de integração).
  • O grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador (grau 4 versus grau 2), então precisaremos primeiro reduzir a função racional a uma parte polinomial mais uma fração própria (grau do numerador menor que o do denominador).

Passo 2

Como o grau do numerador é maior que o do denominador, fazemos a divisão polinomial de
2x^{4}-3x^{3}-33x^{2}-10x-8
por
x^{2}-2x-15.
Vou fazer a divisão passo a passo.
  1. Primeiro termo do quociente: escolher 2x^{2} porque 2x^{2}\cdot x^{2}=2x^{4}. Multiplicamos o divisor por 2x^{2}:
2x^{2}\cdot(x^{2}-2x-15)=2x^{4}-4x^{3}-30x^{2}.
Subtraindo isso do numerador original obtemos o resto parcial:
(2x^{4}-3x^{3}-33x^{2}) - (2x^{4}-4x^{3}-30x^{2}) = x^{3}-3x^{2}.
Levamos para baixo os termos restantes -10x-8, então o resto atual é
x^{3}-3x^{2}-10x-8.
  1. Próximo termo do quociente: +x, pois x\cdot x^{2}=x^{3}. Multiplicando:
x\cdot(x^{2}-2x-15)=x^{3}-2x^{2}-15x.
Subtraindo do resto atual:
(x^{3}-3x^{2}-10x) - (x^{3}-2x^{2}-15x) = -x^{2}+5x.
Com o termo constante -8 trazido, o resto fica
-x^{2}+5x-8.
  1. Próximo termo do quociente: -1, pois -1\cdot x^{2}=-x^{2}. Multiplicando:
-1\cdot(x^{2}-2x-15) = -x^{2}+2x+15.
Subtraindo:
(-x^{2}+5x-8) - (-x^{2}+2x+15) = 3x-23.
Agora o grau do resto ( 1) é menor que o grau do divisor ( 2), então a divisão termina.
Portanto o quociente é
2x^{2}+x-1
e o resto é
3x-23.

Passo 3

Reescrevemos a função racional como soma de um polinômio com uma fração própria:
\frac{2 x^{4}-3 x^{3}-33 x^{2}-10 x-8}{x^{2}-2 x-15} =2x^{2}+x-1+\frac{3x-23}{x^{2}-2x-15}.
Assim a integral se torna
\int \frac{2 x^{4}-3 x^{3}-33 x^{2}-10 x-8}{x^{2}-2 x-15}\,dx =\int \bigl(2x^{2}+x-1\bigr)\,dx + \int \frac{3x-23}{x^{2}-2x-15}\,dx.

Passo 4

Agora tratamos a integral da fração própria. Primeiro factorizamos o denominador:
x^{2}-2x-15 = (x-5)(x+3).
(Observe que peguei esses fatores fatorando o quadrático: números que multiplicam [-15) e somam -2 são -5 e +3.)
Como o denominador é produto de dois fatores lineares distintos, a decomposição em frações parciais tem a forma
\frac{3x-23}{x^{2}-2x-15} = \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x+3},
onde A e B são constantes a determinar. Para encontrar A e B multiplicamos ambos os lados por (x-5)(x+3) e obtemos a identidade polinomial
3x-23 = A(x+3) + B(x-5).
Desenvolvendo o lado direito:
A(x+3)+B(x-5) = (A+B)x + (3A-5B).
Comparando coeficientes de x e termos constantes obtemos o sistema linear:
\begin{cases} A+B = 3,\\[4pt] 3A-5B = -23. \end{cases}
Resolvendo: da primeira equação A=3-B\]. Substituindo na segunda: \[3(3-B)-5B=-23 \Rightarrow 9-3B-5B=-23 \Rightarrow 9-8B=-23.\] Então \(-8B=-32 e B=4. Logo A=3-B=3-4=-1.
Portanto
\frac{3x-23}{x^{2}-2x-15} = -\frac{1}{x-5} + \frac{4}{x+3}.]

Passo 5

Agora voltamos à integral total e substituímos a decomposição encontrada:
\int \frac{2 x^{4}-3 x^{3}-33 x^{2}-10 x-8}{x^{2}-2 x-15}\,dx = \int \bigl(2x^{2}+x-1\bigr)\,dx + \int\!\left(-\frac{1}{x-5}+\frac{4}{x+3}\right)\,dx.
Integramos termo a termo, explicando as regras usadas:
  • Regra para potências: \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1.
  • Regra do logaritmo: \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C.
Aplicando:
  1. \displaystyle \int 2x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{2}{3}x^{3}.
  2. \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
  3. \displaystyle \int -1\,dx = -x.
  4. \displaystyle \int -\frac{1}{x-5}\,dx = -\ln|x-5|.
  5. \displaystyle \int \frac{4}{x+3}\,dx = 4\ln|x+3|.
Somando tudo e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva:
\frac{2}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}-x-\ln|x-5|+4\ln|x+3|+C.

Resposta

\frac{2}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}-x-\ln|x-5|+4\ln|x+3|+C

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