Resolva as integrais indefinidas a seguir por frações parciais.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
Informações dadas e observações extraídas do enunciado:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - A integral é indefinida (vamos obter uma primitiva mais constante de integração).
- O grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador (grau
versus grau ), então precisaremos primeiro reduzir a função racional a uma parte polinomial mais uma fração própria (grau do numerador menor que o do denominador).
Passo 2
Como o grau do numerador é maior que o do denominador, fazemos a divisão polinomial de
por
Vou fazer a divisão passo a passo.
- Primeiro termo do quociente: escolher
porque . Multiplicamos o divisor por :
Subtraindo isso do numerador original obtemos o resto parcial:
Levamos para baixo os termos restantes
, então o resto atual é
- Próximo termo do quociente:
, pois . Multiplicando:
Subtraindo do resto atual:
Com o termo constante
trazido, o resto fica
- Próximo termo do quociente:
, pois . Multiplicando:
Subtraindo:
Agora o grau do resto (
) é menor que o grau do divisor (
), então a divisão termina.
Portanto o quociente é
e o resto é
Passo 3
Reescrevemos a função racional como soma de um polinômio com uma fração própria:
Assim a integral se torna
Passo 4
Agora tratamos a integral da fração própria. Primeiro factorizamos o denominador:
(Observe que peguei esses fatores fatorando o quadrático: números que multiplicam [-15) e somam
são
e
.)
Como o denominador é produto de dois fatores lineares distintos, a decomposição em frações parciais tem a forma
onde
e
são constantes a determinar. Para encontrar
e
multiplicamos ambos os lados por
e obtemos a identidade polinomial
Desenvolvendo o lado direito:
Comparando coeficientes de
e termos constantes obtemos o sistema linear:
Resolvendo: da primeira equação
e
. Logo
.
Portanto
Passo 5
Agora voltamos à integral total e substituímos a decomposição encontrada:
Integramos termo a termo, explicando as regras usadas:
- Regra para potências:
para . - Regra do logaritmo:
.
Aplicando:
Somando tudo e acrescentando a constante de integração
, obtemos a primitiva: