Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
$ \int \frac{x^{2}}{x+1} d x$

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^2x+1,dx usando frações parciais ou divisão polinomial. Esse é um problema de integração de função racional e vamos simplificar o integrando antes de integrar.

Passo 2

Como o grau do numerador (2) é maior que o do denominador (1), aplicamos divisão de polinômios: dividindo x^2 por (x+1) obtemos quociente x-1 e resto 1. Logo, x^2x+1=x-1+1x+1

Passo 3

Reescrevemos a integral usando essa decomposição: integral x^2x+1,dx=integral l(x-1+tfrac1x+1r),dx

Passo 4

Agora integramos termo a termo. Sabemos que integral x,dx=tfracx^22, integral(-1),dx=-x e integral1x+1,dx=lnlvert x+1rvert. Não esqueça de incluir a constante de integração C.

Resposta

x^22-x+lnlvert x+1rvert+C

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