Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
$ \int \frac{2 x+1}{x{3}-x{2}-x+1} d x$
Passo 1
O enunciado pede para calcular . O conteúdo principal aqui é integração por frações parciais: vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a função em somatório de termos mais simples.
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador. Observamos que
Passo 3
Agora montamos a decomposição em frações parciais:
Passo 4
Multiplicando pelos fatores e igualando coeficientes, temos a identidade
Passo 5
Expandindo e igualando coeficientes de e termo constante, obtemos o sistema:
Passo 6
Resolvendo esse sistema encontramos
A = -tfrac14, B=tfrac14, C=tfrac32
Passo 7
Substituindo na integral,
integral 2x+1(x-1)^2(x+1),dx = integral l(-tfrac141x+1 + tfrac141x-1 + tfrac321(x-1)^2r)dx
Passo 8
Agora integramos termo a termo usando integral 1x-a,dx=ln|x-a| e integral (x-a)^-2dx = -1x-a:
= -tfrac14ln|x+1| + tfrac14ln|x-1| + tfrac32l(-1x-1r) + C
Resposta
-\tfrac{1}{4}\ln|x+1| + \tfrac{1}{4}\ln|x-1| - \tfrac{3}{2(x-1)} + C