Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
$ \int \frac{2 x+1}{x{3}-x{2}-x+1} d x$

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 2x+1x^3-x^2-x+1,dx. O conteúdo principal aqui é integração por frações parciais: vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a função em somatório de termos mais simples.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador. Observamos que
x^3-x^2-x+1 = x^2(x-1) -1(x-1) = (x^2-1)(x-1) = (x-1)^2(x+1)

Passo 3

Agora montamos a decomposição em frações parciais:
2x+1(x-1)^2(x+1) = Ax+1 + Bx-1 + C(x-1)^2

Passo 4

Multiplicando pelos fatores (x-1)^2(x+1) e igualando coeficientes, temos a identidade
2x+1 = A(x-1)^2 + B(x+1)(x-1) + C(x+1)

Passo 5

Expandindo e igualando coeficientes de x^2,x e termo constante, obtemos o sistema:
A + B = 0, -2A + C = 2, A - B + C = 1

Passo 6

Resolvendo esse sistema encontramos
A = -tfrac14, B=tfrac14, C=tfrac32

Passo 7

Substituindo na integral,
integral 2x+1(x-1)^2(x+1),dx = integral l(-tfrac141x+1 + tfrac141x-1 + tfrac321(x-1)^2r)dx

Passo 8

Agora integramos termo a termo usando integral 1x-a,dx=ln|x-a| e integral (x-a)^-2dx = -1x-a:
= -tfrac14ln|x+1| + tfrac14ln|x-1| + tfrac32l(-1x-1r) + C

Resposta

-\tfrac{1}{4}\ln|x+1| + \tfrac{1}{4}\ln|x-1| - \tfrac{3}{2(x-1)} + C

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