Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente. \int \frac{10}{(x-1)\left(x^{2}+9\right)} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{10}{(x-1)\left(x^{2}+9\right)}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
O numerador é \,10.
O denominador é o produto de um fator linear \,(x-1) e um quadrático irreduzível \,(x^{2}+9).
A tarefa é encontrar uma antiderivada (integral indefinida) desta função racional.
Passo 2
Vamos usar decomposição em frações parciais. Quando o denominador é produto de fatores distintos, uma forma apropriada de decompor é
Como na decomposição o sinal é negativo, o termo contribui com -\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+9).
Para \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+9}\,dx uso a fórmula padrão \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right). Aqui a=3, então