Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
\int \frac{10}{(x-1)\left(x^{2}+9\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{10}{(x-1)\left(x^{2}+9\right)}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O numerador é \,10.
  • O denominador é o produto de um fator linear \,(x-1) e um quadrático irreduzível \,(x^{2}+9).
  • A tarefa é encontrar uma antiderivada (integral indefinida) desta função racional.

Passo 2

Vamos usar decomposição em frações parciais. Quando o denominador é produto de fatores distintos, uma forma apropriada de decompor é
\frac{10}{(x-1)(x^{2}+9)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+9},
onde A,B,C são constantes a determinar. Aqui:
  • \,A/(x-1) corresponde ao pólo simples em x=1.
  • (Bx+C)/(x^{2}+9) é a forma geral sobre o quadrático irreduzível.

Passo 3

Multiplicando a identidade acima por (x-1)(x^{2}+9) obtemos a igualdade polinomial
10 = A(x^{2}+9)+(Bx+C)(x-1).
Vou usar dois procedimentos para achar A,B,C: primeiro pegar um valor conveniente de x, depois comparar coeficientes.
Pegando x=1 simplifica muito:
10 = A(1^{2}+9) + (B\cdot1 + C)(0).
Portanto
10 = 10A \quad\Rightarrow\quad A=1.

Passo 4

Com A=1\), expando a expressão e comparo coeficientes. Expandindo a parte direita: \[A(x^{2}+9)+(Bx+C)(x-1) = A x^{2}+9A + Bx^{2} - Bx + Cx - C.
Agrupando termos semelhantes e substituindo A=1:
(1+B)x^{2} + (-B+C)x + (9 - C).
A igualdade polinomial com o polinômio constante 10 implica:
\begin{cases} 1 + B = 0,\\[4pt] - B + C = 0,\\[4pt] 9 - C = 10. \end{cases}
Resolve-se o sistema: da primeira equação B=-1\]. Da segunda, \(C=B=-1. Verificando a terceira: 9 - (-1)=10 OK.
Portanto
A=1,\quad B=-1,\quad C=-1.]

Passo 5

Substituindo os coeficientes na decomposição temos
\frac{10}{(x-1)(x^{2}+9)}=\frac{1}{x-1}+\frac{-x-1}{x^{2}+9}
ou, reescrevendo,
\frac{10}{(x-1)(x^{2}+9)}=\frac{1}{x-1}-\frac{x}{x^{2}+9}-\frac{1}{x^{2}+9}.

Passo 6

Agora integro termo a termo:
  1. Para \displaystyle \int \frac{1}{x-1}\,dx vale a primitiva
\ln|x-1|.
  1. Para \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+9}\,dx uso a substituição u=x^{2}+9, então du=2x\,dx. Assim
\int \frac{x}{x^{2}+9}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln u=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+9).
Como na decomposição o sinal é negativo, o termo contribui com -\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+9).
  1. Para \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+9}\,dx uso a fórmula padrão \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right). Aqui a=3, então
\int \frac{1}{x^{2}+9}\,dx = \frac{1}{3}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right).
Na decomposição este termo também aparece com sinal negativo, contribuindo com -\tfrac{1}{3}\arctan\!\left(\tfrac{x}{3}\right).

Passo 7

Somando as primitivas dos três termos e acrescentando a constante de integração C, obtemos uma antiderivada:
\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln(x^{2}+9)-\frac{1}{3}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right)+C.

Resposta

\ln|x-1|-\dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+9)-\dfrac{1}{3}\arctan\!\left(\dfrac{x}{3}\right)+C

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