Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
\int \frac{1}{x\left(x^{2}+4\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integração indefinida) da função racional
\frac{1}{x\left(x^{2}+4\right)^{2}}.
Ou seja, calcular
\int \frac{1}{x\left(x^{2}+4\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas e objetivo: integrar a função racional usando, quando conveniente, a técnica de frações parciais. Vou decompor a função em frações simples apropriadas para integrar termo a termo.

Passo 2

Ideia do método (breve aula): para integrar uma racional onde o denominador factoriza em um fator linear x e um fator quadrático irreducível (x^{2}+4) repetido (ao quadrado), a decomposição em frações parciais tem a forma
\frac{1}{x\left(x^{2}+4\right)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+4}+\frac{Dx+E}{\left(x^{2}+4\right)^{2}},
onde A,B,C,D,E são constantes a determinar. Explico: cada fator linear x dá um termo A/x; cada ocorrência do quadrático a potência 1 dá um termo (Bx+C)/(x^{2}+4) e a potência 2 dá também um termo (Dx+E)/(x^{2}+4)^2. Depois determinamos constantes e integramos cada parcela separadamente.

Passo 3

Determinar A,B,C,D,E. Multiplicando ambos os lados por x\left(x^{2}+4\right)^{2} obtemos a identidade polinomial
1 = A\left(x^{2}+4\right)^{2} + (Bx+C)\,x\left(x^{2}+4\right) + (Dx+E)\,x.
Faço as expansões para igualar coeficientes. Primeiro
A\left(x^{2}+4\right)^{2}=A\left(x^{4}+8x^{2}+16\right)=A x^{4}+8A x^{2}+16A.
Em seguida
(Bx+C)\,x\left(x^{2}+4\right)=(Bx+C)\left(x^{3}+4x\right)=B x^{4}+4B x^{2}+C x^{3}+4C x.
E por fim
(Dx+E)\,x=D x^{2}+E x.
Somando tudo:
1 = (A+B) x^{4} + C x^{3} + (8A+4B+D) x^{2} + (4C+E) x + 16A.

Passo 4

Igualando coeficientes do polinômio à direita com o polinômio constante 1\) (que é \(0x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+0x+1\)), obtemos o sistema \[\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] C=0,\\[4pt] 8A+4B+D=0,\\[4pt] 4C+E=0,\\[4pt] 16A=1. \end{cases}
Da última equação 16A=1\] segue \[A=\frac{1}{16}.\] Então \(B=-A=-\dfrac{1}{16}. De C=0 vem C=0. De 4C+E=0 e C=0 vem E=0. Finalmente, usando 8A+4B+D=0,
8\cdot\frac{1}{16}+4\cdot\left(-\frac{1}{16}\right)+D=0
\frac{8-4}{16}+D=0\quad\Rightarrow\quad\frac{4}{16}+D=0\quad\Rightarrow\quad D=-\frac{4}{16}=-\frac{1}{4}.]

Passo 5

Portanto a decomposição é
\frac{1}{x\left(x^{2}+4\right)^{2}}=\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{x}-\frac{1}{16}\cdot\frac{x}{x^{2}+4}-\frac{1}{4}\cdot\frac{x}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}.
Vou integrar termo a termo:
\int \frac{1}{x\left(x^{2}+4\right)^{2}}\,dx = \frac{1}{16}\int \frac{1}{x}\,dx - \frac{1}{16}\int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx - \frac{1}{4}\int \frac{x}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}\,dx.

Passo 6

Integral do primeiro termo (fácil): \int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|. Então
\frac{1}{16}\int \frac{1}{x}\,dx=\frac{1}{16}\ln|x|.

Passo 7

Integral do segundo termo: \int \dfrac{x}{x^{2}+4}\,dx. Uso substituição (uma técnica padrão): ponha u=x^{2}+4. Então du=2x\,dx, ou seja x\,dx=\dfrac{du}{2}. Assim
\int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du=\frac{1}{2}\ln u=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+4\right).
Multiplicando pelo fator -\dfrac{1}{16} resulta
- \frac{1}{16}\int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx=-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+4\right)=-\frac{1}{32}\ln\left(x^{2}+4\right).

Passo 8

Integral do terceiro termo: \int \dfrac{x}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx. Faço a mesma substituição u=x^{2}+4, então du=2x\,dx e x\,dx=\dfrac{du}{2}. Obtemos
\int \frac{x}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u^{2}}\,du=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{u}\right)=-\frac{1}{2u}=-\frac{1}{2(x^{2}+4)}.
Multiplicando pelo fator -\dfrac{1}{4}
- \frac{1}{4}\int \frac{x}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx = -\frac{1}{4}\cdot\left(-\frac{1}{2(x^{2}+4)}\right) = \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{x^{2}+4}.

Passo 9

Somando os três resultados e incluindo a constante de integração C, a primitiva fica
\int \frac{1}{x\left(x^{2}+4\right)^{2}}\,dx = \frac{1}{16}\ln|x| - \frac{1}{32}\ln\left(x^{2}+4\right) + \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{x^{2}+4} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{16}\ln|x|-\frac{1}{32}\ln\left(x^{2}+4\right)+\frac{1}{8(x^{2}+4)}+C

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