Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
Passo 1
O enunciado pede a primitiva (integração indefinida) da função racional
Ou seja, calcular
Informações dadas e objetivo: integrar a função racional usando, quando conveniente, a técnica de frações parciais. Vou decompor a função em frações simples apropriadas para integrar termo a termo.
Passo 2
Ideia do método (breve aula): para integrar uma racional onde o denominador factoriza em um fator linear
e um fator quadrático irreducível
repetido (ao quadrado), a decomposição em frações parciais tem a forma
onde
são constantes a determinar. Explico: cada fator linear
dá um termo
; cada ocorrência do quadrático a potência
dá um termo
e a potência
dá também um termo
. Depois determinamos constantes e integramos cada parcela separadamente.
Passo 3
Determinar
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Faço as expansões para igualar coeficientes. Primeiro
Em seguida
E por fim
Somando tudo:
Passo 4
Igualando coeficientes do polinômio à direita com o polinômio constante
Da última equação
. De
vem
. De
e
vem
. Finalmente, usando
,
Passo 5
Portanto a decomposição é
Vou integrar termo a termo:
Passo 6
Integral do primeiro termo (fácil):
. Então
Passo 7
Integral do segundo termo:
. Uso substituição (uma técnica padrão): ponha
. Então
, ou seja
. Assim
Multiplicando pelo fator
resulta
Passo 8
Integral do terceiro termo:
. Faço a mesma substituição
, então
e
. Obtemos
Multiplicando pelo fator
dá
Passo 9
Somando os três resultados e incluindo a constante de integração
, a primitiva fica