Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
\int \frac{x^{3}+x^{2}+2 x+1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)} d x

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a integral indefinida
\int \frac{x^{3}+x^{2}+2 x+1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)}\,dx.
  • Pede que se calcule essa integral.
Informações úteis fornecidas pelo enunciado:
  • O numerador tem grau 3 e o denominador tem grau 4, logo a fração racional é própria (não é preciso fazer divisão polinomial).
  • O denominador está fatorado como produto de dois quadráticos irreducíveis sobre os reais: x^{2}+1 e x^{2}+2.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicação didática):
  • Para integrar uma fração racional cujo denominador é produto de fatores quadráticos distintos irreducíveis, a técnica padrão é decompor a função em frações parciais do tipo
\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+2},
onde A,B,C,D são constantes a determinar.
  • Justificativa simples: qualquer função racional própria com esses fatores no denominador pode ser escrita como soma de termos com denominador cada fator, numerador sendo um polinômio de grau menor que o grau do fator (aqui grau <2, então forma linear Ax+B etc.).
  • Depois de encontrar A,B,C,D, cada parcela é integrada por fórmulas elementares:
    • A integral de \dfrac{x}{x^{2}+a} \dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+a).
    • A integral de \dfrac{1}{x^{2}+a^{2}} \dfrac{1}{a}\arctan\!\big(\dfrac{x}{a}\big).

Passo 3

Fazer a decomposição em frações parciais passo a passo:
Supor
\frac{x^{3}+x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}=\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+2}.
Multiplicando ambos os lados por (x^{2}+1)(x^{2}+2) obtemos a identidade polinomial
x^{3}+x^{2}+2x+1=(Ax+B)(x^{2}+2)+(Cx+D)(x^{2}+1).
Agora expandir os termos do lado direito:
(Ax+B)(x^{2}+2)=A x^{3}+B x^{2}+2A x+2B,
(Cx+D)(x^{2}+1)=C x^{3}+D x^{2}+C x+D.
Somando,
(A+C)x^{3}+(B+D)x^{2}+(2A+C)x+(2B+D).
Comparando coeficientes com x^{3}+x^{2}+2x+1 obtemos o sistema:
\begin{cases} A+C=1,\\[4pt] B+D=1,\\[4pt] 2A+C=2,\\[4pt] 2B+D=1. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema para A,B,C,D passo a passo:
Das duas equações envolvendo A e C:
A+C=1, \qquad 2A+C=2.
Subtraindo a primeira da segunda dá
(2A+C)-(A+C)=A=1.
Logo A=1. Substituindo em A+C=1 vem
C=1-A=0.
Agora as equações com B e D:
B+D=1, \qquad 2B+D=1.
Subtraindo a primeira da segunda dá
(2B+D)-(B+D)=B=0.
Logo B=0. Substituindo em B+D=1 vem
D=1-B=1.
Portanto os coeficientes são \;A=1,\;B=0,\;C=0,\;D=1.

Passo 5

Escrever a decomposição final e separar a integral em parcelas fáceis:
Com esses valores,
\frac{x^{3}+x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}=\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+2}.
Logo
\int \frac{x^{3}+x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}\,dx = \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx+\int \frac{1}{x^{2}+2}\,dx.

Passo 6

Integrar cada parcela usando fórmulas e explicações:
  1. Para \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx:
  • Fazer a substituição padrão u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx, isto é, x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du.
  • Assim
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln|u|+\text{const}=\frac{1}{2}\ln\big(x^{2}+1\big)+\text{const}.
Observação: como x^{2}+1>0 para todo x, podemos omitir as barras de valor absoluto se desejar.
  1. Para \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+2}\,dx:
  • Reconhecer a forma \int \dfrac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\dfrac{1}{a}\arctan\!\big(\dfrac{x}{a}\big)+\text{const}.
  • Aqui x^{2}+2=x^{2}+(\sqrt{2})^{2}, portanto a=\sqrt{2}.
  • Logo
\int \frac{1}{x^{2}+2}\,dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\bigg(\frac{x}{\sqrt{2}}\bigg)+\text{const}.

Passo 7

Juntar os resultados e escrever a primitive geral (com a constante de integração):
Somando as duas integrais obtemos
\int \frac{x^{3}+x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}\,dx =\frac{1}{2}\ln\big(x^{2}+1\big)+\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\bigg(\frac{x}{\sqrt{2}}\bigg)+C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\frac{1}{2}\ln\big(x^{2}+1\big)+\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\bigg(\frac{x}{\sqrt{2}}\bigg)+C

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