Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente. \int \frac{x^{3}+x^{2}+2 x+1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)} d x
O numerador tem grau 3 e o denominador tem grau 4, logo a fração racional é própria (não é preciso fazer divisão polinomial).
O denominador está fatorado como produto de dois quadráticos irreducíveis sobre os reais: x^{2}+1 e x^{2}+2.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicação didática):
Para integrar uma fração racional cujo denominador é produto de fatores quadráticos distintos irreducíveis, a técnica padrão é decompor a função em frações parciais do tipo
\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+2},
onde A,B,C,D são constantes a determinar.
Justificativa simples: qualquer função racional própria com esses fatores no denominador pode ser escrita como soma de termos com denominador cada fator, numerador sendo um polinômio de grau menor que o grau do fator (aqui grau <2, então forma linear Ax+B etc.).
Depois de encontrar A,B,C,D, cada parcela é integrada por fórmulas elementares:
A integral de \dfrac{x}{x^{2}+a} dá \dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+a).
A integral de \dfrac{1}{x^{2}+a^{2}} dá \dfrac{1}{a}\arctan\!\big(\dfrac{x}{a}\big).
Passo 3
Fazer a decomposição em frações parciais passo a passo: