Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais:
- O integrando é a função racional
. - O polinômio do denominador é quadrático:
. - Não há outros dados adicionais; a tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) desta função.
Passo 2
Verificação rápida: o grau do numerador (
) é menor que o grau do denominador (
), então não é preciso fazer divisão de polinômios antes de usar frações parciais.
Fatorar o denominador para preparar a decomposição em frações parciais:
Logo podemos tentar decompor a fração em termos simples do tipo
:
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 3
Encontrar
e
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Desenvolvendo o lado direito:
Igualando coeficientes em
e termo constante resulta o sistema linear
Passo 4
Resolver o sistema para
e
. Uma forma direta é isolar
da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então
Passo 5
Reescrever a integral usando a decomposição encontrada:
Portanto
Passo 6
Integrar termo a termo. Lembrando a primitiva básica
temos constantes fatorando:
Como o segundo termo tem sinal negativo, a primitiva da soma é
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Observação final didática e alternativa de escrita: a resposta pode ser deixada exatamente como acima, ou combinada em um único logaritmo usando propriedades de logaritmo:
Ambas as formas estão corretas; a primeira é mais direta para checar derivando de volta ao integrando.