Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
\int \frac{3 x+5}{x^{2}-x-2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{3x+5}{x^{2}-x-2}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O integrando é a função racional \dfrac{3x+5}{x^{2}-x-2}.
  • O polinômio do denominador é quadrático: x^{2}-x-2.
  • Não há outros dados adicionais; a tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) desta função.

Passo 2

Verificação rápida: o grau do numerador ( 1) é menor que o grau do denominador ( 2), então não é preciso fazer divisão de polinômios antes de usar frações parciais.
Fatorar o denominador para preparar a decomposição em frações parciais:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Logo podemos tentar decompor a fração em termos simples do tipo \dfrac{1}{x-a}:
\frac{3x+5}{x^{2}-x-2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Encontrar A e B. Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x+1) obtemos a identidade polinomial
3x+5 = A(x+1)+B(x-2).
Desenvolvendo o lado direito:
A(x+1)+B(x-2)=(A+B)x+(A-2B).
Igualando coeficientes em x e termo constante resulta o sistema linear
\begin{cases} A+B=3,\\[4pt] A-2B=5. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema para A e B. Uma forma direta é isolar A da primeira equação:
A=3-B.
Substituindo na segunda:
(3-B)-2B=5 \quad\Rightarrow\quad 3-3B=5 \quad\Rightarrow\quad -3B=2 \quad\Rightarrow\quad B=-\tfrac{2}{3}.
Então
A=3-B=3-(-\tfrac{2}{3})=3+\tfrac{2}{3}=\tfrac{11}{3}.

Passo 5

Reescrever a integral usando a decomposição encontrada:
\frac{3x+5}{x^{2}-x-2}=\frac{11/3}{x-2}-\frac{2/3}{x+1}.
Portanto
\int \frac{3x+5}{x^{2}-x-2}\,dx=\int\left(\frac{11/3}{x-2}-\frac{2/3}{x+1}\right)\,dx.

Passo 6

Integrar termo a termo. Lembrando a primitiva básica
\int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C,
temos constantes fatorando:
\int \frac{11/3}{x-2}\,dx=\frac{11}{3}\ln|x-2|,\qquad \int \frac{2/3}{x+1}\,dx=\frac{2}{3}\ln|x+1|.
Como o segundo termo tem sinal negativo, a primitiva da soma é
\frac{11}{3}\ln|x-2|-\frac{2}{3}\ln|x+1|+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Observação final didática e alternativa de escrita: a resposta pode ser deixada exatamente como acima, ou combinada em um único logaritmo usando propriedades de logaritmo:
\frac{11}{3}\ln|x-2|-\frac{2}{3}\ln|x+1|+C =\frac{1}{3}\ln\!\left|\frac{(x-2)^{11}}{(x+1)^{2}}\right|+C.
Ambas as formas estão corretas; a primeira é mais direta para checar derivando de volta ao integrando.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{3}\ln|x-2|-\frac{2}{3}\ln|x+1|+C

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