Calcule os limites:
\lim _{t \rightarrow 0^{ pm}}\left(\frac{\operatorname{sen} t}{t^{2}}-\frac{1}{t^{2}}\right);

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{t\to 0^\pm}\Bigl(\frac{\operatorname{sen} t}{t^2}-\frac1{t^2}\Bigr).
Isso é um limite de função que resulta em indeterminação do tipo “constante dividido por zero”. Vamos usar:
  1. Combinar as frações em uma só.
  2. Analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente.
  3. Aplicar o fato de que, se o numerador tende a uma constante não nula e o denominador tende a 0^+, o quociente diverge para \pm\infty.

Passo 2

Juntando as duas frações, temos
\frac{\operatorname{sen} t}{t^2}-\frac1{t^2} =\frac{\operatorname{sen} t-1}{t^2}.

Passo 3

Para t\to0:
  • O numerador \operatorname{sen} t-1 tende a \sen0-1=0-1=-1.
  • O denominador t^2 tende a 0, mas como é quadrado, fica sempre positivo quando t\neq0; ou seja, tende a 0^+.

Passo 4

Como \operatorname{sen} t-1\to -1 (constante negativa) e t^2\to0^+, o quociente
\frac{\operatorname{sen} t-1}{t^2}
tende a -\infty. Isso vale tanto para t\to0^+ quanto para t\to0^-.

Resposta

-\infty

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