Calcule as integrais indefinidas usando a integraçāo por partes.
a) integral x cdot cos (x) d x
b) integral(x^2+3 x) cdot sen(x) d x
c) integral x cdot e^x d x
d) integral ln ^2(x) d x
e) integral x cdot ln (x) d x
f) integral arctg(x) d x
g) integral arcsen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essas integrais usando a técnica de integração por partes. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais indefinidas, especificamente aplicando a integração por partes. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Vamos aplicar essa fórmula em cada uma das integrais que você enviou, uma por uma.

Passo 2

a) integral x cdot cos(x) , dx = x cdot sin(x) - integral sin(x) , dx
Vamos usar integração por partes aqui. Primeiro, escolhemos x cdot sin(x) - (-cos(x)) = x cdot sin(x) + cos(x) + C e :
  •  ⇒ 
  •  ⇒ 
Agora aplicamos a fórmula:
A integral de é , então:

Passo 3

b)
Vamos dividir a integral em duas partes e aplicar integração por partes em cada uma:
Primeiro, para :
Escolhemos:
  • integral x^2 cdot sen(x) , dx = -x^2 cdot cos(x) + integral 2x cdot cos(x) , dx  ⇒  2x cdot sen(x) - integral 2 cdot sen(x) , dx = 2x cdot sen(x) + 2 cdot cos(x)
  •  ⇒  -x^2 cdot cos(x) + 2x cdot sen(x) + 2 cdot cos(x) + C
Aplicando:
Agora, para 3x cdot (-cos(x)) - integral (-cos(x)) cdot 3 , dx = -3x cdot cos(x) + 3 cdot sen(x) , aplicamos integração por partes novamente:
  • (-x^2 cdot cos(x) + 2x cdot sen(x) + 2 cdot cos(x)) + (-3x cdot cos(x) + 3 cdot sen(x)) + C  ⇒  -x^2 cdot cos(x) - 3x cdot cos(x) + 5x cdot sen(x) + 2 cdot cos(x) + C
  •  ⇒ 
Então:
Voltando:
Agora, para a segunda parte , fazemos:
Escolhemos:
  •  ⇒ 
  •  ⇒ 
Aplicando:
Juntando tudo:
Simplificando:

Passo 4

c) integral x cdot e^x , dx = x cdot e^x - integral e^x , dx = x cdot e^x - e^x + C = e^x (x - 1) + C
Vamos usar integração por partes:
Escolhemos:
  •  ⇒ 
  •  ⇒ 
Aplicando a fórmula:

Passo 5

d) integral ln^2(x) , dx = x cdot ln^2(x) - integral x cdot 2 ln(x)x , dx = x cdot ln^2(x) - 2 integral ln(x) , dx
Aqui, vamos aplicar integração por partes duas vezes. Primeiro, definimos:
  • integral ln(x) , dx = x cdot ln(x) - integral x cdot 1x , dx = x cdot ln(x) - integral 1 , dx = x cdot ln(x) - x + C  ⇒  x cdot ln^2(x) - 2 (x cdot ln(x) - x) + C = x cdot ln^2(x) - 2x cdot ln(x) + 2x + C
  •  ⇒ 
Aplicando:
Agora, precisamos encontrar :
Escolhemos:
  •  ⇒ 
  •  ⇒ 
Então:
Voltando:

Passo 6

e) integral x cdot ln(x) , dx = x^22 cdot ln(x) - integral x^22 cdot 1x , dx = x^22 cdot ln(x) - 12 integral x , dx
Vamos usar integração por partes:
Escolhemos:
  • 12 cdot x^22 = x^24  ⇒  x^22 cdot ln(x) - x^24 + C
  •  ⇒ 
Aplicando a fórmula:
Calculando a última integral:
Então, a solução fica:

Passo 7

f) integral arctg(x) , dx = x cdot arctg(x) - integral x cdot 11 + x^2 , dx
Aqui, vamos usar integração por partes:
Escolhemos:
  • integral x1 + x^2 , dx = 12 ln|1 + x^2| + C  ⇒  x cdot arctg(x) - 12 ln(1 + x^2) + C
  •  ⇒ 
Aplicando a fórmula:
A última integral pode ser resolvida substituindo , então , ou simplificando:
Portanto:

Passo 8

g) integral arcsen(x) , dx = x cdot arcsen(x) - integral x cdot 1raiz1 - x^2 , dx
Vamos usar integração por partes:
Escolhemos:
  • -12 integral 1raizu , du = -raizu + C = -raiz1 - x^2 + C  ⇒  x cdot arcsen(x) + raiz1 - x^2 + C
  •  ⇒ 
Aplicando a fórmula:
A última integral pode ser resolvida com substituição , então , resultando em:
Portanto:

Resposta

As integrais resolvidas por partes são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)

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