Calcule as integrais indefinidas usando a integraçāo por partes.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essas integrais usando a técnica de integração por partes. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais indefinidas, especificamente aplicando a integração por partes. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula da integração por partes:
Vamos aplicar essa fórmula em cada uma das integrais que você enviou, uma por uma.
Passo 2
a)
Vamos usar integração por partes aqui. Primeiro, escolhemos
e
:
-
⇒ -
⇒
Agora aplicamos a fórmula:
A integral de
é
, então:
Passo 3
b)
Vamos dividir a integral em duas partes e aplicar integração por partes em cada uma:
Primeiro, para :
Escolhemos:
-
⇒ - ⇒
Aplicando:
Agora, para
, aplicamos integração por partes novamente:
-
⇒ -
⇒
Então:
Voltando:
Agora, para a segunda parte , fazemos:
Escolhemos:
-
⇒ - ⇒
Aplicando:
Juntando tudo:
Simplificando:
Passo 4
c)
Vamos usar integração por partes:
Escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula:
Passo 5
d)
Aqui, vamos aplicar integração por partes duas vezes. Primeiro, definimos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando:
Agora, precisamos encontrar
:
Escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Então:
Voltando:
Passo 6
e)
Vamos usar integração por partes:
Escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula:
Calculando a última integral:
Então, a solução fica:
Passo 7
f)
Aqui, vamos usar integração por partes:
Escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula:
A última integral pode ser resolvida substituindo
, então
, ou simplificando:
Portanto:
Passo 8
g)
Vamos usar integração por partes:
Escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula:
A última integral pode ser resolvida com substituição
, então
, resultando em:
Portanto:
Resposta
As integrais resolvidas por partes são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)